Um fio uniformemente carregada de comprimento l=7,62 e-02 m tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de q=-4,21e-06 C. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em O, o centro do semicírculo. Use k=8.99 times 10^9 N m^2 / C^2 e pi=3,14. Dê a resposta em N / C.
nenhuma das outras
-5,05 e+07
-6,34 e+07
-6,86 e+07

Passo 1

Então, temos um fio carregado de forma uniforme com comprimento metros, que está moldado em um semicírculo. A carga total do fio é C. A gente precisa encontrar a magnitude, direção e sentido do campo elétrico no ponto , que é o centro do semicírculo. Vamos usar a constante eletrostática e . A resposta final deve estar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o campo elétrico ( ) gerado por uma carga depende da sua quantidade, da distância e da direção em relação ao ponto onde estamos calculando o campo. Quando temos um fio carregado distribuído de forma contínua, precisamos integrar o campo elétrico ao longo de todo o comprimento do fio.

Passo 3

Como o fio está em forma de semicírculo, vamos usar coordenadas polares para simplificar a integração. O ponto está exatamente no centro do semicírculo, então podemos dividir o semicírculo em pequenos elementos de carga , cada um contribuindo com um pequeno campo elétrico no ponto .

Passo 4

A carga total lambda = ql está distribuída uniformemente ao longo do semicírculo de comprimento . Assim, a densidade linear de carga é dada por:
Isso nos ajuda a expressar em termos de um ângulo diferencial .

Passo 5

Vamos relacionar o comprimento diferencial dl = r , dtheta com o ângulo . Sabemos que, para um semicírculo:
Onde é o raio do semicírculo. Mas primeiro, precisamos encontrar .

Passo 6

A circunferência completa de um círculo é l = pi r , então para um semicírculo:
r = lpi = 7,62 times 10^-23,14 approx 2,43 times 10^-2 , m
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, expressamos dq = lambda , dl = ql cdot r , dtheta = ql cdot lpi , dtheta = qpi , dtheta em termos de :

Passo 8

O campo elétrico devido a cada elemento de carga no ponto tem direção radial. Como o semicírculo é simétrico, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, deixando apenas a componente vertical.

Passo 9

A componente vertical do campo elétrico de cada elemento dEy = dE cdot sin(theta) = k , dqr^2 cdot sin(theta) = k , qpi , r^2 cdot sin(theta) , dtheta é:

Passo 10

Integrando Ey = k , qpi , r^2 integral0^pi sin(theta) , dtheta = k , qpi , r^2 [ -cos(theta) ]0^pi = k , qpi , r^2 ( -cos(pi) + cos(0) ) de Ey = k , qpi , r^2 ( -(-1) + 1 ) = k , qpi , r^2 cdot 2 = 2kqpi r^2 a :

Passo 11

Substituindo os valores numéricos:
E = 2 times 8,99 times 10^9 times (-4,21 times 10^-6)3,14 times (2,43 times 10^-2)^2
Calculando o denominador:
3,14 times (2,43 times 10^-2)^2 = 3,14 times 5,9049 times 10^-4 approx 1,855 times 10^-3
Agora, calculando o numerador:
2 times 8,99 times 10^9 times (-4,21 times 10^-6) = -7,566 times 10^4
Finalmente:
E = -7,566 times 10^41,855 times 10^-3 approx -4,08 times 10^7 , N/C

Resposta

A magnitude do campo elétrico no ponto é aproximadamente . A direção é perpendicular ao plano do semicírculo e o sentido é para dentro, já que a carga é negativa.

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