Um fio uniformemente carregada de comprimento
tem a forma de um semicírculo. O fio tem uma carga total de q=-4,21e-06 C. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em
, o centro do semicírculo. Use
. Dê a resposta em
.
nenhuma das outras
nenhuma das outras
Passo 1
Então, temos um fio carregado de forma uniforme com comprimento
metros, que está moldado em um semicírculo. A carga total do fio é
C. A gente precisa encontrar a magnitude, direção e sentido do campo elétrico no ponto
, que é o centro do semicírculo. Vamos usar a constante eletrostática
e
. A resposta final deve estar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o campo elétrico (
) gerado por uma carga depende da sua quantidade, da distância e da direção em relação ao ponto onde estamos calculando o campo. Quando temos um fio carregado distribuído de forma contínua, precisamos integrar o campo elétrico ao longo de todo o comprimento do fio.
Passo 3
Como o fio está em forma de semicírculo, vamos usar coordenadas polares para simplificar a integração. O ponto
está exatamente no centro do semicírculo, então podemos dividir o semicírculo em pequenos elementos de carga
, cada um contribuindo com um pequeno campo elétrico
no ponto
.
Passo 4
A carga total
está distribuída uniformemente ao longo do semicírculo de comprimento
. Assim, a densidade linear de carga
é dada por:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de um ângulo diferencial
.
Passo 5
Vamos relacionar o comprimento diferencial
com o ângulo
. Sabemos que, para um semicírculo:
Onde
é o raio do semicírculo. Mas primeiro, precisamos encontrar
.
Passo 6
A circunferência completa de um círculo é
, então para um semicírculo:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, expressamos
em termos de
:
Passo 8
O campo elétrico devido a cada elemento de carga
no ponto
tem direção radial. Como o semicírculo é simétrico, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, deixando apenas a componente vertical.
Passo 9
A componente vertical do campo elétrico de cada elemento
é:
Passo 10
Integrando
de
a
:
Passo 11
Substituindo os valores numéricos:
Calculando o denominador:
Agora, calculando o numerador:
Finalmente:
Resposta
A magnitude do campo elétrico no ponto
é aproximadamente
. A direção é perpendicular ao plano do semicírculo e o sentido é para dentro, já que a carga é negativa.