Verifique se a matriz-coluna b=[l1 1 1] é uma combinação linear das matrizescoluna v1=[c1 0 -1], v2=[l0 1 1] e v3=[l1 1 0], justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Combinação Linear na Álgebra Linear. A gente quer descobrir se a matriz-coluna 1 1 1 pode ser escrita como uma combinação das matrizes-coluna 1 0 -1, 0 1 1 e 1 1 0. Para isso, vamos ver se existem números (escalas) que combinem essas vetores para formar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar escalares a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = b , a1 cdot 1 + a2 cdot 0 + a3 cdot 1 = 1 a1 cdot 0 + a2 cdot 1 + a3 cdot 1 = 1 a1 cdot (-1) + a2 cdot 1 + a3 cdot 0 = 1 e tais que:
Isso dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos simplificar as equações:
a1 + a3 = 1 (Equação 1) a2 + a3 = 1 (Equação 2) - a1 + a2 = 1 (Equação 3) çãçãçã
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da Equação 1, podemos isolar a1 = 1 - a3 :
    a2 = 1 - a3
  2. Da Equação 2, isolar - (1 - a3) + (1 - a3) = 1 :
    -1 + a3 + 1 - a3 = 1 0 = 1
  3. Agora, substituímos e na Equação 3:
    Simplificando:

Passo 5

Chegamos a uma contradição , o que significa que não existe uma solução para o sistema de equações. Isso quer dizer que não existem valores de , e que façam a combinação linear das matrizes-coluna , e resultar na matriz-coluna .

Resposta

A matriz-coluna não é uma combinação linear das matrizes-coluna , e .

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