Verifique se a matriz-coluna é uma combinação linear das matrizescoluna e , justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Combinação Linear na Álgebra Linear. A gente quer descobrir se a matriz-coluna pode ser escrita como uma combinação das matrizes-coluna , e . Para isso, vamos ver se existem números (escalas) que combinem essas vetores para formar .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos simplificar as equações:
çãçãçã
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da Equação 1, podemos isolar :
Da Equação 2, isolar :
Agora, substituímos e na Equação 3:
Simplificando:
Passo 5
Chegamos a uma contradição , o que significa que não existe uma solução para o sistema de equações. Isso quer dizer que não existem valores de , e que façam a combinação linear das matrizes-coluna , e resultar na matriz-coluna .
Resposta
A matriz-coluna não é uma combinação linear das matrizes-coluna , e .