Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(g) Sejam uma matriz, uma forma escalonada de e uma matriz-coluna. Se o sistema de equações lineares é compatível, então o sistema linear também é compatível.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre sistemas de equações lineares e precisa descobrir se ela é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui envolve matrizes, formas escalonadas e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma forma escalonada de uma matriz e o que significa um sistema ser compatível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma escalonada de uma matriz. Quando a gente transforma uma matriz em sua forma escalonada (ou forma escada), a gente usa operações elementares de linha para simplificar a matriz, mas sem mudar as soluções do sistema de equações que ela representa. Isso significa que tanto a matriz original quanto sua forma escalonada tem o mesmo conjunto de soluções.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre sistemas de equações lineares compatíveis. Um sistema é considerado compatível se ele tem pelo menos uma solução. Caso contrário, se não tiver nenhuma solução, ele é chamado de incompatível.
Passo 4
A afirmação diz que se o sistema é compatível, então o sistema também é compatível. Como é uma forma escalonada de , qualquer solução que funcione para também vai funcionar para , porque as operações que transformam em não alteram as soluções do sistema.
Resposta
Verdadeira. Se tem solução, então também tem solução, já que é uma forma escalonada de e preserva as soluções do sistema.