Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(g) Sejam
uma matriz,
uma forma escalonada de
e
uma matriz-coluna. Se o sistema de equações lineares
é compatível, então o sistema linear
também é compatível.
(g) Sejam
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre sistemas de equações lineares e precisa descobrir se ela é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui envolve matrizes, formas escalonadas e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma forma escalonada de uma matriz e o que significa um sistema ser compatível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma escalonada de uma matriz. Quando a gente transforma uma matriz em sua forma escalonada (ou forma escada), a gente usa operações elementares de linha para simplificar a matriz, mas sem mudar as soluções do sistema de equações que ela representa. Isso significa que tanto a matriz original quanto sua forma escalonada tem o mesmo conjunto de soluções.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre sistemas de equações lineares compatíveis. Um sistema é considerado compatível se ele tem pelo menos uma solução. Caso contrário, se não tiver nenhuma solução, ele é chamado de incompatível.
Passo 4
A afirmação diz que se o sistema
é compatível, então o sistema
também é compatível. Como
é uma forma escalonada de
, qualquer solução que funcione para
também vai funcionar para
, porque as operações que transformam
em
não alteram as soluções do sistema.
Resposta
Verdadeira. Se
tem solução, então
também tem solução, já que
é uma forma escalonada de
e preserva as soluções do sistema.