Considere um sistema linear qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
(d) Se a matriz possui uma linha de zeros, então o sistema linear é incompatível.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear na forma e o processo de escalonamento da matriz ampliada resulta em uma matriz . A pergunta é: “Se a matriz possui uma linha de zeros, então o sistema linear é incompatível.” Vamos precisar entender o que significa uma linha de zeros na matriz escalonada e como isso afeta a solução do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre sistemas lineares e escalonamento. Um sistema linear é um conjunto de equações que podemos representar em forma matricial. O escalonamento é um processo que transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma mais simples, geralmente a forma escalonada ou forma reduzida por linhas, facilitando a resolução do sistema.
Passo 3
Quando escalonamos a matriz para obter , estamos usando operações de linha para simplificar o sistema. Uma linha de zeros na matriz significa que todos os coeficientes das variáveis nessa equação são zero. A questão é: o que acontece com a parte aumentada nessa linha?
Passo 4
Se tivermos uma linha de zeros em e o correspondente elemento em também for zero, essa equação se torna , que é uma equação trivial e não afeta a consistência do sistema. Porém, se a linha de zeros em tiver um elemento diferente de zero em , a equação vira algo como (com ), o que é impossível de ser verdadeiro. Isso tornaria o sistema incompatível.
Passo 5
A afirmação na questão diz que “Se a matriz possui uma linha de zeros, então o sistema linear é incompatível.” Mas, como vimos, isso só é verdade se o elemento correspondente em não for zero. Se for zero, o sistema ainda pode ser compatível. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
Falso. Uma linha de zeros na matriz não necessariamente torna o sistema incompatível, a menos que o elemento correspondente em seja diferente de zero.