Considere um sistema linear A x=b qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
[A mid b] sim cdots sim[E mid b^prime]
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
(d) Se a matriz E possui uma linha de zeros, então o sistema linear A x=b é incompatível.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear na forma A x = b e o processo de escalonamento da matriz ampliada [A mid b] resulta em uma matriz [E mid b']. A pergunta é: “Se a matriz E possui uma linha de zeros, então o sistema linear A x = b é incompatível.” Vamos precisar entender o que significa uma linha de zeros na matriz escalonada e como isso afeta a solução do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre sistemas lineares e escalonamento. Um sistema linear é um conjunto de equações que podemos representar em forma matricial. O escalonamento é um processo que transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma mais simples, geralmente a forma escalonada ou forma reduzida por linhas, facilitando a resolução do sistema.

Passo 3

Quando escalonamos a matriz [A mid b] para obter [E mid b'], estamos usando operações de linha para simplificar o sistema. Uma linha de zeros na matriz E significa que todos os coeficientes das variáveis nessa equação são zero. A questão é: o que acontece com a parte aumentada b' nessa linha?

Passo 4

Se tivermos uma linha de zeros em E e o correspondente elemento em b' também for zero, essa equação se torna 0 = 0, que é uma equação trivial e não afeta a consistência do sistema. Porém, se a linha de zeros em E tiver um elemento diferente de zero em b', a equação vira algo como 0 = c (com c neq 0), o que é impossível de ser verdadeiro. Isso tornaria o sistema incompatível.

Passo 5

A afirmação na questão diz que “Se a matriz E possui uma linha de zeros, então o sistema linear A x = b é incompatível.” Mas, como vimos, isso só é verdade se o elemento correspondente em b' não for zero. Se for zero, o sistema ainda pode ser compatível. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

Falso. Uma linha de zeros na matriz E não necessariamente torna o sistema incompatível, a menos que o elemento correspondente em b' seja diferente de zero.

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