Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(e) Seja uma matriz . Se uma forma escalonada de possui um pivô em cada coluna, então o sistema linear é compatível e determinado, para toda escolha da matriz-coluna .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre matrizes e sistemas lineares. Mais especificamente, ele nos pergunta se, quando uma matriz tem uma forma escalonada com um pivô em cada coluna, o sistema linear é sempre compatível e determinado, independente da matriz . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como forma escalonada, pivôs e sistemas lineares compatíveis e determinados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma escalonada de uma matriz. Uma matriz está em forma escalonada se:
  1. Todas as linhas nulas estão na parte de baixo.
  2. O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  3. Todos os pivôs são iguais a 1.
Ter um pivô em cada coluna significa que, em cada coluna da matriz , existe pelo menos um pivô.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa ter um sistema linear compatível e determinado:
  • Compatível: O sistema tem pelo menos uma solução.
  • Determinado: O sistema tem exatamente uma solução.
Então, o enunciado sugere que, se tem um pivô em cada coluna, então para qualquer vetor , o sistema terá exatamente uma solução.

Passo 4

Vamos analisar isso matematicamente. Se é uma matriz com um pivô em cada coluna, então o posto (número de pivôs) de é . Para que o sistema seja compatível para todo , a matriz deve ter posto igual a . No entanto, se , isso não é possível, já que o posto de não pode exceder o menor entre e .

Passo 5

Isso significa que, se , mesmo que haja um pivô em cada coluna, o sistema nem sempre será compatível para todo . Portanto, a afirmativa não é verdadeira em geral.

Resposta

Falsa. Embora tenha um pivô em cada coluna, isso não garante que o sistema seja compatível e determinado para toda .

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