Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F). (a) A soma dos termos da diagonal principal da matriz , tal que , é 3 . (b) Toda matriz nula é também diagonal. (c) Uma matriz identidade é também diagonal, simétrica, triangular inferior e triangular superior. (d) A soma dos termos de uma matriz antissimétrica é sempre igual a 0 . (e) Toda matriz triangular superior é também diagonal. (f) Se é simétrica, então não pode ser triangular inferior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para classificar várias afirmações sobre matrizes como verdadeiras (V) ou falsas (F). A matéria aqui envolve conceitos de matrizes como diagonal principal, matrizes nulas, identidade, triangular superior e inferior, simétricas e antissimétricas. Vamos precisar entender cada um desses conceitos para avaliar as afirmações.

Passo 2

**(a) A soma dos termos da diagonal principal da matriz , tal que , é 3.** Primeiro, vamos encontrar os termos da diagonal principal de . Em uma matriz , a diagonal principal é formada pelos elementos onde . Então, os elementos são: - - - A soma desses elementos é . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

**(b) Toda matriz nula é também diagonal.** Uma matriz nula é aquela em que todos os elementos são zero. Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Como na matriz nula todos os elementos, incluindo a diagonal, são zero, ela satisfaz a condição de ser diagonal. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

**(c) Uma matriz identidade é também diagonal, simétrica, triangular inferior e triangular superior.** A matriz identidade é uma matriz diagonal com 1's na diagonal principal e 0's fora dela. Vamos verificar cada propriedade: - **Diagonal:** Sim, por definição. - **Simétrica:** Sim, porque a matriz é igual à sua transposta. - **Triangular Superior:** Sim, já que todos os elementos abaixo da diagonal são zero. - **Triangular Inferior:** Sim, já que todos os elementos acima da diagonal são zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

**(d) A soma dos termos de uma matriz antissimétrica é sempre igual a 0.** Uma matriz antissimétrica satisfaz . Isso implica que os elementos na diagonal principal devem ser zero, porque leva a . Além disso, para cada elemento acima da diagonal, existe um elemento correspondente abaixo da diagonal que é seu negativo. Portanto, a soma de todos os elementos da matriz será zero. Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

**(e) Toda matriz triangular superior é também diagonal.** Uma matriz triangular superior tem todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero, mas os elementos acima da diagonal podem ser diferentes de zero. Apenas se todos os elementos acima também forem zero a matriz será diagonal. Portanto, nem toda matriz triangular superior é diagonal. A afirmação é falsa.

Passo 7

**(f) Se é simétrica, então não pode ser triangular inferior.** Uma matriz simétrica satisfaz . Se for triangular inferior, então todos os elementos acima da diagonal são zero. Para que seja também simétrica, os elementos acima da diagonal deveriam ser iguais aos elementos abaixo, que já são zero. Portanto, uma matriz simétrica e triangular inferior seria uma matriz diagonal. Como a afirmação diz que **não pode** ser triangular inferior, mas na verdade pode ser (quando é diagonal), a afirmação é falsa.

Resposta

(a) V (b) V (c) V (d) V (e) F (f) F

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