Exatamente quantas afirmações abaixo estão corretas?
i)
ii) X+A B=X A+X C
iii) X=P+A B Rightarrow P X=B A
iv) A B+B C+C A=0
v) Se A B é paralelo a C D, então A C é paralelo a B D
vi) |2 u+v|=2|u|+|v|
vii) |v-v|=0
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Precisamos verificar quantas das sete afirmações sobre vetores estão corretas. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos de álgebra vetorial, como operações com vetores, paralelismo e norma de vetores.
Passo 2
Afirmação i)A B+B A=A
Vamos analisar:
Sabemos que B A = -A B.
Então, A B + B A = A B - A B = 0.
A afirmativa diz que isso é igual a A, o que está incorreto.
Conclusão: Incorreta.
Passo 3
Afirmação ii)X+A B=X A+X C
Interpretação:
Se rearranjarmos, temos X A = A - X e X C = C - X.
Somando: A - X + C - X = A + C - 2X.
A afirmação original não simplifica para isso, e geralmente não é válida para vetores arbitrários.
Conclusão: Incorreta.
Passo 4
Afirmação iii)X=P+A B Rightarrow P X=B A
Analisando:
Se X = P + A B, então P X = A B.
B A = -A B, então P X neq B A, mas sim o oposto.
Conclusão: Incorreta.
Passo 5
Afirmação iv)A B+B C+C A=0
Interpretando:
Isto segue a regra do “fechamento do triângulo”: a soma dos vetores ao redor de um ciclo fechado é zero.
Conclusão: Correta.
Passo 6
Afirmação v) Se A B é paralelo a C D, então A C é paralelo a B D
Analisando:
Se dois vetores são paralelos, suas combinações lineares também seguem certas propriedades.
Na verdade, A C e B D não necessariamente são paralelos só porque A B e C D são.
Conclusão: Incorreta.
Passo 7
Afirmação vi)|2 u+v|=2|u|+|v|
Verificando:
Pela desigualdade triangular, |2 u+v| <= 2|u| + |v|.
A igualdade ocorre somente se 2u e v são colineares e apontam na mesma direção.
Geralmente, isso não é verdade para vetores arbitrários.