Sejam um triângulo qualquer e um ponto no segmento tal que é a bissetriz do ângulo . Escreva em função de e .

Passo 1

Beleza! A gente tem um triângulo qualquer, chamado , e um ponto que está no lado . A linha que vai de até , ou seja, , é a bissetriz do ângulo em . Nosso objetivo é escrever o vetor em termos dos vetores e . Para isso, vamos precisar usar a propriedade da bissetriz e alguns conceitos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma bissetriz de um ângulo. A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. No nosso caso, divide o ângulo em dois ângulos iguais. Uma propriedade importante da bissetriz em um triângulo é que ela divide o lado oposto ( ) na mesma proporção dos lados adjacentes, ou seja:
Isso significa que a razão entre os segmentos e é igual à razão entre os lados e .

Passo 3

Vamos chamar o comprimento de de e o de de . Assim, a razão fica:
Podemos expressar e em termos de uma variável comum. Vamos supor que e , onde é um fator de proporcionalidade.

Passo 4

O vetor pode ser escrito como uma combinação dos vetores e . Para isso, usamos a seguinte fórmula da bissetriz:
Essa fórmula nos mostra que é uma média ponderada dos vetores e , ponderada pelos comprimentos dos lados adjacentes.

Passo 5

Vamos entender cada parte dessa fórmula:
  • : Multiplicamos o vetor pelo comprimento do lado oposto a , que é .
  • : Multiplicamos o vetor pelo comprimento do lado oposto a , que é .
  • : Somamos os comprimentos dos lados e para normalizar a combinação.
Essa combinação garante que a direção de esteja correta, seguindo a bissetriz do ângulo .

Resposta

A expressão do vetor em termos de e é:

Exercícios relacionados

Exatamente quantas afirmações abaixo estão corretas?
i)
ii)
iii)
iv)
v) Se é paralelo a , então é paralelo a
vi)
vii)
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) A soma dos termos da diagonal principal da matriz , tal que , é 3 .
(b) Toda matriz nula é também diagonal.
© Uma matriz identidade é também diagonal, simétrica, triangular inferior e triangular superior.
(d) A soma dos termos de uma matriz antissimétrica é sempre igual a 0 .
(e) Toda matriz triangular superior é também diagonal.
(f) Se é simétrica, então não pode ser triangular inferior.
Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.