Sejam um triângulo qualquer e um ponto no segmento tal que é a bissetriz do ângulo . Escreva em função de e .
Passo 1
Beleza! A gente tem um triângulo qualquer, chamado , e um ponto que está no lado . A linha que vai de até , ou seja, , é a bissetriz do ângulo em . Nosso objetivo é escrever o vetor em termos dos vetores e . Para isso, vamos precisar usar a propriedade da bissetriz e alguns conceitos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma bissetriz de um ângulo. A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. No nosso caso, divide o ângulo em dois ângulos iguais. Uma propriedade importante da bissetriz em um triângulo é que ela divide o lado oposto () na mesma proporção dos lados adjacentes, ou seja:
Isso significa que a razão entre os segmentos e é igual à razão entre os lados e .
Passo 3
Vamos chamar o comprimento de de e o de de . Assim, a razão fica:
Podemos expressar e em termos de uma variável comum. Vamos supor que e , onde é um fator de proporcionalidade.
Passo 4
O vetor pode ser escrito como uma combinação dos vetores e . Para isso, usamos a seguinte fórmula da bissetriz:
Essa fórmula nos mostra que é uma média ponderada dos vetores e , ponderada pelos comprimentos dos lados adjacentes.
Passo 5
Vamos entender cada parte dessa fórmula:
: Multiplicamos o vetor pelo comprimento do lado oposto a , que é .
: Multiplicamos o vetor pelo comprimento do lado oposto a , que é .
: Somamos os comprimentos dos lados e para normalizar a combinação.
Essa combinação garante que a direção de esteja correta, seguindo a bissetriz do ângulo .