Sejam triang<= A B C um triângulo qualquer e D um ponto no segmento B C tal que A D é a bissetriz do ângulo A. Escreva A D em função de A B e A C.

Passo 1

Beleza! A gente tem um triângulo qualquer, chamado triang<= ABC, e um ponto D que está no lado BC. A linha que vai de A até D, ou seja, AD, é a bissetriz do ângulo em A. Nosso objetivo é escrever o vetor AD em termos dos vetores AB e AC. Para isso, vamos precisar usar a propriedade da bissetriz e alguns conceitos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma bissetriz de um ângulo. A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. No nosso caso, AD divide o ângulo A em dois ângulos iguais. Uma propriedade importante da bissetriz em um triângulo é que ela divide o lado oposto ( BC) na mesma proporção dos lados adjacentes, ou seja:
BDDC = ABAC
Isso significa que a razão entre os segmentos BD e DC é igual à razão entre os lados AB e AC.

Passo 3

Vamos chamar o comprimento de AB de c e o de AC de b. Assim, a razão fica:
BDDC = cb
Podemos expressar BD e DC em termos de uma variável comum. Vamos supor que BD = c cdot k e DC = b cdot k, onde k é um fator de proporcionalidade.

Passo 4

O vetor AD pode ser escrito como uma combinação dos vetores AB e AC. Para isso, usamos a seguinte fórmula da bissetriz:
AD = b cdot AB + c cdot ACb + c
Essa fórmula nos mostra que AD é uma média ponderada dos vetores AB e AC, ponderada pelos comprimentos dos lados adjacentes.

Passo 5

Vamos entender cada parte dessa fórmula:
  • b cdot AB: Multiplicamos o vetor AB pelo comprimento do lado oposto a B, que é AC.
  • c cdot AC: Multiplicamos o vetor AC pelo comprimento do lado oposto a C, que é AB.
  • b + c: Somamos os comprimentos dos lados AB e AC para normalizar a combinação.
Essa combinação garante que a direção de AD esteja correta, seguindo a bissetriz do ângulo A.

Resposta

A expressão do vetor AD em termos de AB e AC é:
AD = b cdot AB + c cdot ACb + c

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