Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsa e justificando as verdadeiras. Se é derivável em , então é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para classificar a afirmação "Se é derivável em , então é contínua em " como verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivabilidade e continuidade. Para resolver isso, vamos revisar o que significa uma função ser derivável e como isso se relaciona com a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se o limite que define a derivada existe naquele ponto:
Esse limite existir significa que a taxa de variação da função em está bem definida.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a definição de continuidade. Uma função é contínua em se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 4

Para ver se a derivabilidade implica continuidade, vamos analisar o que acontece quando é derivável em . Se é derivável em , então o limite que define a derivada existe. Isso nos dá informações sobre o comportamento de em torno de .

Passo 5

Vamos provar que se é derivável em , então é contínua em . Sabemos que:
Para esse limite existir, o numerador deve se comportar de maneira que, ao dividir por e fazer tender a zero, o limite seja um número real (a derivada).

Passo 6

Isso implica que , porque se isso não fosse verdade, o limite da derivada não existiria. Portanto:
Que é exatamente a definição de continuidade de em .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é derivável em , então é contínua em .

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Determine o limite infinito.
Däda a função .
(b) determine algebricamente os pontos nos quais ;
Esboce o gráfico e determine o ponto de minimo ou máximo de cada função.
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