Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsa e justificando as verdadeiras. Se
é derivável em
, então
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para classificar a afirmação "Se
é derivável em
, então
é contínua em
" como verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivabilidade e continuidade. Para resolver isso, vamos revisar o que significa uma função ser derivável e como isso se relaciona com a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivabilidade. Uma função
é derivável em um ponto
se o limite que define a derivada existe naquele ponto:
Esse limite existir significa que a taxa de variação da função em
está bem definida.
Passo 3
Agora, vamos relembrar a definição de continuidade. Uma função
é contínua em
se:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
.
Passo 4
Para ver se a derivabilidade implica continuidade, vamos analisar o que acontece quando
é derivável em
. Se
é derivável em
, então o limite que define a derivada existe. Isso nos dá informações sobre o comportamento de
em torno de
.
Passo 5
Vamos provar que se
é derivável em
, então
é contínua em
. Sabemos que:
Para esse limite existir, o numerador
deve se comportar de maneira que, ao dividir por
e fazer
tender a zero, o limite seja um número real (a derivada).
Passo 6
Isso implica que
, porque se isso não fosse verdade, o limite da derivada não existiria. Portanto:
Que é exatamente a definição de continuidade de
em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é derivável em
, então
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Determine o limite infinito.
Däda a função
.
(b) determine algebricamente os pontos nos quais ;
(b) determine algebricamente os pontos nos quais
Esboce o gráfico e determine o ponto de minimo ou máximo de cada função.
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