Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsa e justificando as verdadeiras. Existem funções e que não são contínuas em tais que é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Existem funções e que não são contínuas em tais que é contínua em .” Nosso objetivo é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, precisamos entender um pouco sobre funções contínuas e como elas se comportam quando multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se, ao aproximar-se de por qualquer caminho, o valor de se aproxima de . Em outras palavras, não tem “saltos” ou “quebras” no gráfico da função naquele ponto.
Agora, se temos duas funções e que não são contínuas em , pode parecer que seu produto também não será contínuo. Mas será que isso sempre acontece?

Passo 3

Vamos analisar isso com um exemplo. Imagine que para todo . Claro, essa função é contínua em todos os pontos. Mas, para criar um cenário onde não é contínua, precisamos de algo diferente.
Vamos definir:
E
Nessas definições, tanto quanto têm uma “quebra” em , ou seja, não são contínuas nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar e :
Para :
Para :
Então, para todo . Isso significa que o produto das funções e é a função constante zero, que é contínua em todo ponto, incluindo .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Existem funções e que não são contínuas em mas cujo produto é contínuo em , como demonstrado no exemplo acima.

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Esboce o gráfico e determine o ponto de minimo ou máximo de cada função.
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Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.