Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsa e justificando as verdadeiras. Existem funções
e
que não são contínuas em
tais que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Existem funções
e
que não são contínuas em
tais que
é contínua em
.” Nosso objetivo é descobrir se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, precisamos entender um pouco sobre funções contínuas e como elas se comportam quando multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se, ao aproximar-se de
por qualquer caminho, o valor de
se aproxima de
. Em outras palavras, não tem “saltos” ou “quebras” no gráfico da função naquele ponto.
Agora, se temos duas funções
e
que não são contínuas em
, pode parecer que seu produto
também não será contínuo. Mas será que isso sempre acontece?
Passo 3
Vamos analisar isso com um exemplo. Imagine que
para todo
. Claro, essa função é contínua em todos os pontos. Mas, para criar um cenário onde
não é contínua, precisamos de algo diferente.
Vamos definir:
E
Nessas definições, tanto
quanto
têm uma “quebra” em
, ou seja, não são contínuas nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
e
:
Para
:
Para
:
Então,
para todo
. Isso significa que o produto das funções
e
é a função constante zero, que é contínua em todo ponto, incluindo
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Existem funções
e
que não são contínuas em
mas cujo produto
é contínuo em
, como demonstrado no exemplo acima.
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Esboce o gráfico e determine o ponto de minimo ou máximo de cada função.
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Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.