Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . A matéria aqui envolve funções trigonométricas inversas, especificamente a função arctangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função arctangente funciona, identificar pontos importantes como assíntotas, interceptos e o comportamento da função em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da arctangente. Temos:
Isso é uma fração que pode nos dar pistas sobre o comportamento da função, especialmente quando se aproxima de valores que tornam o denominador zero.

Passo 3

Agora, vamos identificar o domínio da função. O denominador não pode ser igual a zero, então:
Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos da função. Primeiro, o intercepto com o eixo ocorre quando :
Então, o ponto de intercepto com o eixo é .
Para o intercepto com o eixo , resolvemos :
Então, o ponto de intercepto com o eixo é .

Passo 5

Vamos analisar os assíntotas verticais. Como não pode ser igual a -1, há uma assíntota vertical em .
Agora, vamos ver o comportamento da função quando tende a e para identificar assíntotas horizontais.
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Vamos resumir as informações coletadas:
  • Domínio: exceto
  • Intercepto com :
  • Intercepto com :
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:

Passo 7

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Trace a assíntota vertical em .
  2. Trace a assíntota horizontal em .
  3. Marque os interceptos nos pontos e .
  4. Analise o comportamento da função nos intervalos e , conectando os pontos e as assíntotas de acordo.

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Um intercepto com o eixo em
  • Um intercepto com o eixo em
  • Uma assíntota vertical em
  • Uma assíntota horizontal em
Com esses elementos, o esboço do gráfico segue essas características, mostrando como a função se comporta próximo às assíntotas e interceptos.

Exercícios relacionados

Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsa e justificando as verdadeiras. Existem funções e que não são contínuas em tais que é contínua em .
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
67)
Uma partícula se move ao longo de uma curva .
Ache a expressão do vetor velocidade ;