Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. A matéria aqui envolve funções trigonométricas inversas, especificamente a função arctangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função arctangente funciona, identificar pontos importantes como assíntotas, interceptos e o comportamento da função em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da arctangente. Temos:
Isso é uma fração que pode nos dar pistas sobre o comportamento da função, especialmente quando
se aproxima de valores que tornam o denominador zero.
Passo 3
Agora, vamos identificar o domínio da função. O denominador
não pode ser igual a zero, então:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos da função. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
:
Então, o ponto de intercepto com o eixo
é
.
Para o intercepto com o eixo
, resolvemos
:
Então, o ponto de intercepto com o eixo
é
.
Passo 5
Vamos analisar os assíntotas verticais. Como
não pode ser igual a -1, há uma assíntota vertical em
.
Agora, vamos ver o comportamento da função quando
tende a
e
para identificar assíntotas horizontais.
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Vamos resumir as informações coletadas:
- Domínio:
exceto - Intercepto com
: - Intercepto com
: - Assíntota vertical:
- Assíntota horizontal:
Passo 7
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Trace a assíntota vertical em
. - Trace a assíntota horizontal em
. - Marque os interceptos nos pontos
e . - Analise o comportamento da função nos intervalos
e , conectando os pontos e as assíntotas de acordo.
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Um intercepto com o eixo
em - Um intercepto com o eixo
em - Uma assíntota vertical em
- Uma assíntota horizontal em
Com esses elementos, o esboço do gráfico segue essas características, mostrando como a função se comporta próximo às assíntotas e interceptos.
Exercícios relacionados
Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsa e justificando as verdadeiras. Existem funções
e
que não são contínuas em
tais que
é contínua em
.
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
67)
67)
Uma partícula se move ao longo de uma curva
.
Ache a expressão do vetor velocidade ;
Ache a expressão do vetor velocidade