Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de função, como domínio, interceptos, comportamento da função e suas derivadas para identificar pontos importantes no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Sabemos que a raiz quadrada (
) e a raiz quarta (
) estão definidas para
. Então, o domínio da função
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos.
- Intercepto com o eixo y: Para encontrar, colocamos
:
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto (0, 0).
- Intercepto com o eixo x: Encontramos colocando
:
Elevando ambos os lados à quarta potência para eliminar as raízes:
Resolvendo a equação:
Então, o intercepto com o eixo x ocorre em
, ou seja, no ponto (1, 0).
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta à medida que
aumenta.
Para
muito pequeno (próximo de 0):
Para
crescendo para o infinito:
Sabemos que
cresce mais rápido que
, então:
Mas, mais precisamente,
domina, então
tende ao infinito positivo.
Passo 5
Vamos calcular a derivada da função para encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo e entender a inclinação do gráfico.
A função é:
Calculando a derivada:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os expoentes negativos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Vamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo ou máximo examinando a segunda derivada ou analisando o comportamento da derivada em torno desse ponto.
Para simplificar, observamos que:
- Para
, a derivada é positiva, indicando que a função está crescendo. - Para
, a derivada é positiva, indicando que a função continua crescendo.
Isso sugere que em
há um ponto de inflexão, mas a função não tem máximos ou mínimos locais nesse ponto.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função começa no ponto (0, 0).
- Ela passa pelo ponto (1, 0).
- Há um ponto de inflexão em
. - Para
, a função cresce indefinidamente, já que domina.
Resposta
Então, o gráfico da função
começa em (0,0), passa por (1,0), tem um ponto de inflexão em
e cresce para o infinito conforme
aumenta. Com base nisso, o esboço mostrará uma curva que inicia na origem, desce ligeiramente até o ponto de inflexão e, em seguida, sobe continuamente.