Seguindo o roteiro acima, esboce o gráfico da função a seguir.
f(x) = raiz(x) - raiz(raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de função, como domínio, interceptos, comportamento da função e suas derivadas para identificar pontos importantes no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Sabemos que a raiz quadrada ( ) e a raiz quarta ( ) estão definidas para . Então, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: Para encontrar, colocamos :
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto (0, 0).
  • Intercepto com o eixo x: Encontramos colocando :
Elevando ambos os lados à quarta potência para eliminar as raízes:
Resolvendo a equação:
Então, o intercepto com o eixo x ocorre em , ou seja, no ponto (1, 0).

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta à medida que aumenta.
Para muito pequeno (próximo de 0):
Para crescendo para o infinito:
Sabemos que cresce mais rápido que , então:
Mas, mais precisamente, domina, então tende ao infinito positivo.

Passo 5

Vamos calcular a derivada da função para encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo e entender a inclinação do gráfico.
A função é:
Calculando a derivada:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os expoentes negativos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Vamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo ou máximo examinando a segunda derivada ou analisando o comportamento da derivada em torno desse ponto.
Para simplificar, observamos que:
  • Para , a derivada é positiva, indicando que a função está crescendo.
  • Para , a derivada é positiva, indicando que a função continua crescendo.
Isso sugere que em há um ponto de inflexão, mas a função não tem máximos ou mínimos locais nesse ponto.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função começa no ponto (0, 0).
  • Ela passa pelo ponto (1, 0).
  • Há um ponto de inflexão em .
  • Para , a função cresce indefinidamente, já que domina.

Resposta

Então, o gráfico da função começa em (0,0), passa por (1,0), tem um ponto de inflexão em e cresce para o infinito conforme aumenta. Com base nisso, o esboço mostrará uma curva que inicia na origem, desce ligeiramente até o ponto de inflexão e, em seguida, sobe continuamente.

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