Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Se
é contínua em
, então
é derivável em
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma afirmação que diz: “Se
é contínua em
, então
é derivável em
.” A gente vai trabalhar com os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e verificar se realmente toda vez que uma função é contínua em um ponto
, ela também é derivável nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto
. Uma função
é contínua em
se, quando a gente se aproxima de
de qualquer direção, o valor de
se aproxima de
. Em outras palavras, não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, derivabilidade em um ponto
quer dizer que a função tem uma reta tangente bem definida naquele ponto. Matemáticamente, isso significa que o limite que define a derivada existe. A derivabilidade implica continuidade, mas será que o contrário também é verdadeiro? Ou seja, toda função contínua é derivável?
Passo 4
Na verdade, a afirmação "Se
é contínua em
, então
é derivável em
" é falsa. Ser contínuo não garante que a função seja derivável no mesmo ponto. Existem funções que são contínuas em certos pontos, mas apresentam cantos ou pontos angulosos que impedem a existência da derivada naquele local.
Passo 5
Um contra-exemplo clássico é a função valor absoluto:
Vamos analisar essa função no ponto
:
-
Continuidade:
é contínua em porque não tem “saltos” ali. O limite de quando se aproxima de 0 é 0, que é exatamente . -
Derivabilidade: Para ser derivável em 0, a derivada pela direita e pela esquerda devem ser iguais. Calculando:
- Derivada pela direita:
- Derivada pela esquerda:
- Derivada pela direita:
Como as derivadas pela direita e pela esquerda são diferentes, a derivada em
não existe.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, a função
é contínua em
mas não é derivável em
.
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pela definição, isto é, usando limite, sendo dados.
e
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para
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.
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