O volume de um gás ideal é função de sua pressão e temperatura. Se a temperatura diminui de 253 K para 252,5 K e a pressão aumentar de 0,98 atm para 1,00 atm, qual será a variação do volume de 1 mol desse gás? Justifique sua resposta, por meio da derivada total. (3,0 pontos) Dado: R = 0,082 atm . L . mol^-1 . K^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o volume de um gás ideal que depende da pressão e da temperatura. A gente vai usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona essas grandezas. Precisamos calcular como o volume muda quando a temperatura diminui de 253 K para 252,5 K e a pressão aumenta de 0,98 atm para 1,00 atm, considerando 1 mol de gás. Para isso, vamos usar a derivada total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de mols,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.
Como queremos ver como varia com e , vamos isolar :

Passo 3

Agora, para encontrar a variação do volume ( ), usamos a derivada total de em relação a e :
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Substituindo as derivadas na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • mol,
  • atm·L·mol ·K ,
  • K,
  • atm,
  • atm,
  • K.

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 7

Agora, somamos os dois termos para encontrar :

Resposta

A variação do volume de 1 mol desse gás é aproximadamente -0,47 litros. Isso significa que o volume diminui em 0,47 L quando a temperatura diminui de 253 K para 252,5 K e a pressão aumenta de 0,98 atm para 1,00 atm.

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Se f é contínua em p, então f é derivável em p.
Diferencie as seguintes funções, aplicando as regras básicas de diferenciação. (2,0 pontos) y = raiz(1 - x^2)
Diferencie as seguintes funções, aplicando as regras básicas de diferenciação. (2,0 pontos) f(x) = 1 / ( (x^2 - 3x - 2)^5 )
Calcule d/y d/x nos casos abaixo. y = sen(x^2)