Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Se
é derivável em
, então
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se
é derivável em
, então
é contínua em
.” Pra resolver isso, a gente precisa entender os conceitos de derivabilidade e continuidade. Vamos precisar lembrar como a derivada está relacionada com a continuidade de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto
. Isso quer dizer que a derivada de
existe nesse ponto. Em termos mais simples, a função tem uma inclinação bem definida ali, sem “quebras” ou “pontas”.
Passo 3
Agora, sobre a continuidade: uma função
é contínua em
se, ao nos aproximarmos de
pelo valor de
, o valor de
também se aproxima de
. Não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto.
Passo 4
A gente sabe que para uma função ser derivável em
, ela precisa primeiro ser contínua em
. Isso porque, se a função tivesse um salto ou um buraco ali, não seria possível calcular a derivada ali, já que a inclinação não seria bem definida.
Passo 5
Então, se
é derivável em
, automaticamente ela é contínua em
. Não precisa de contradição ou exemplo falso, porque essa implicação sempre vale.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é derivável em
, então
é contínua em
.