A função diferenciável
é tal que, para todo
. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável
que satisfaz a equação
para todo
no domínio dela. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
, sabendo que
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
no ponto
. Como a função está definida implicitamente pela equação
, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
. Isso se chama diferenciação implícita.
Passo 3
Vamos diferenciar
. Usando a regra do produto, temos:
Aqui,
é a derivada de
que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
A derivada do lado direito da equação
é zero, já que é uma constante. Então, colocando tudo junto:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação acima:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 7
Vamos corrigir o Passo 5. A equação correta após substituir
e
é:
Como
, temos:
Isso indica que há uma inconsistência. Vamos verificar novamente a diferenciação.
Passo 8
Vamos refazer a diferenciação:
A equação é . Diferenciando:
A equação é
Agora, substituindo
e
:
Sabendo que
:
Como isso é impossível, percebemos que provavelmente houve um erro no enunciado ou na interpretação. Vamos reconsiderar.
Passo 9
Na verdade, ao diferenciar corretamente:
Fatorando
:
Agora, substituindo
e
:
Sabendo que
:
Ainda assim, isso não faz sentido. Parece que há um erro fundamental.
Resposta
Após analisar os cálculos, percebemos que há uma inconsistência na equação fornecida, indicando que possivelmente há um erro no enunciado ou na aplicação das regras. Recomendo revisar o enunciado ou os passos de diferenciação para identificar a fonte do problema.