Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) O conjunto D = {(x, y) em R^2 ; x^2/2 + y^2 <= 1} é limitado.

Passo 1

Vamos começar entendendo a questão. O enunciado nos apresenta um conjunto e nos pergunta se esse conjunto é limitado. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica, especificamente sobre conjuntos limitados no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado. Um conjunto no plano é limitado se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito. Em outras palavras, existe um número real positivo tal que para todos os pontos no conjunto, a distância desse ponto até a origem é menor ou igual a .

Passo 3

Agora, observemos a equação dada: . Essa é a equação de uma elipse centrada na origem. Para entender melhor, podemos reescrever a equação na forma padrão de uma elipse:
Onde:

Passo 4

A elipse tem semi-eixos de comprimento ao longo do eixo e ao longo do eixo . Isso significa que todos os pontos dentro ou na borda dessa elipse têm coordenadas que não excedem esses valores.

Passo 5

Como a elipse está contida dentro de um círculo com raio maior ou igual a , podemos concluir que existe um limite para as coordenadas e dos pontos no conjunto . Portanto, o conjunto está confinado dentro de uma área finita no plano.

Resposta

Verdadeira.

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