O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
© 0 e 2
© 0 e 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de matemática que pede para encontrar o máximo e o mínimo da função
dentro de uma região que é um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos em regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar analisar a função dentro dessa área triangular, verificando pontos interiores e nas bordas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular definida. A região é limitada pelos vértices
,
e
, que forma a desigualdade
,
e
.
Para o ponto
:
Então, o ponto está na fronteira do triângulo.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar os valores da função nos vértices do triângulo, já que extremos também podem ocorrer nesses pontos.
Calculando em
:
Em
:
Em
:
Passo 6
Além dos vértices, precisamos verificar as arestas do triângulo para ver se há valores maiores ou menores que nos pontos já calculados.
As arestas são:
- Entre
e : - Entre
e : - Entre
e :
Vamos analisar cada uma:
-
Aresta
: A função vira. Esta é uma parábola que tem seu mínimo em : -
Aresta
: Podemos parametrizar esta aresta com, então , onde . A função fica:Simplificando:Derivando em relação apara encontrar extremos: Então: -
Aresta
: A função vira. Também uma parábola com mínimo em :
Passo 7
Resumindo os valores encontrados:
- Ponto crítico interior:
- Vértices:
em todos os vértices - Arestas:
Portanto, o mínimo da função na região é 2 e o máximo é 3.
Resposta
O mínimo de
na região é 2 e o máximo é 3.
Exercícios relacionados
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) O conjunto é limitado.
(d) O conjunto
Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
a) é um anel de integridade.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
a)
Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
c) é um cor.po.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
c)
Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d) é um corpo.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d)