O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
© 0 e 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de matemática que pede para encontrar o máximo e o mínimo da função dentro de uma região que é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos em regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar analisar a função dentro dessa área triangular, verificando pontos interiores e nas bordas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular definida. A região é limitada pelos vértices , e , que forma a desigualdade , e .
Para o ponto :
Então, o ponto está na fronteira do triângulo.

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos verificar os valores da função nos vértices do triângulo, já que extremos também podem ocorrer nesses pontos.
Calculando em :
Em :
Em :

Passo 6

Além dos vértices, precisamos verificar as arestas do triângulo para ver se há valores maiores ou menores que nos pontos já calculados.
As arestas são:
  1. Entre e :
  2. Entre e :
  3. Entre e :
Vamos analisar cada uma:
  1. Aresta :
    A função vira . Esta é uma parábola que tem seu mínimo em :
  2. Aresta :
    Podemos parametrizar esta aresta com , então , onde .
    A função fica:
    Simplificando:
    Derivando em relação a para encontrar extremos:
    Então:
  3. Aresta :
    A função vira . Também uma parábola com mínimo em :

Passo 7

Resumindo os valores encontrados:
  • Ponto crítico interior:
  • Vértices: em todos os vértices
  • Arestas:
Portanto, o mínimo da função na região é 2 e o máximo é 3.

Resposta

O mínimo de na região é 2 e o máximo é 3.

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Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) O conjunto é limitado.
Dizemos que um anel comutativo , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
a) é um anel de integridade.
Dizemos que um anel comutativo , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
c) é um cor.po.
Dizemos que um anel comutativo , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
d) é um corpo.