Considere a função
. Encontre o máximo e o mínimo de
no retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos da função
dentro do retângulo definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, como derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do retângulo. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (2), podemos isolar
:
Substituindo esse valor de
na equação (1):
Isso nos dá duas soluções para
:
Como estamos trabalhando no intervalo
, descartamos
.
Então,
e, consequentemente,
.
Portanto, o único ponto crítico dentro do retângulo é
.
Passo 4
Além dos pontos críticos internos, precisamos analisar os valores da função nas bordas do retângulo. As bordas são onde
,
,
e
.
-
Borda
: Essa função atinge seu máximo em(valor 0) e mínimo em (valor -1). -
Borda
: Para encontrar os extremos, derivamos em relação a: Então:Além disso, verificamos os limites eme : Portanto, na borda, o máximo é e o mínimo é 1. -
Borda
: Essa função cresce dea , então o mínimo é 0 e o máximo é 1. -
Borda
: Derivando em relação a: Não há solução real para essa equação, então os extremos ocorrem nas extremidadese : Portanto, na borda, o mínimo é -1 e o máximo é 1.
Passo 5
Agora, vamos coletar todos os valores que encontramos:
-
Ponto interno:
-
Borda
: -
Borda
: -
Borda
: -
Borda
:
Resposta
O máximo da função
no retângulo
é
, que ocorre no ponto
. O mínimo é
, que ocorre no ponto
.
Exercícios relacionados
Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
b) é um anel de integridade.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
b)
Dizemos que um anel comutativo A , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel comutativo
, é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de
que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
a) é um anel de integridade.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
a)
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) O conjunto é limitado.
(d) O conjunto