Considere a função . Encontre o máximo e o mínimo de no retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos da função dentro do retângulo definido por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, como derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do retângulo. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e :

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da equação (2), podemos isolar :
Substituindo esse valor de na equação (1):
Isso nos dá duas soluções para :
Como estamos trabalhando no intervalo , descartamos .
Então, e, consequentemente, .
Portanto, o único ponto crítico dentro do retângulo é .

Passo 4

Além dos pontos críticos internos, precisamos analisar os valores da função nas bordas do retângulo. As bordas são onde , , e .
  1. Borda :
    Essa função atinge seu máximo em (valor 0) e mínimo em (valor -1).
  2. Borda :
    Para encontrar os extremos, derivamos em relação a :
    Então:
    Além disso, verificamos os limites em e :
    Portanto, na borda , o máximo é e o mínimo é 1.
  3. Borda :
    Essa função cresce de a , então o mínimo é 0 e o máximo é 1.
  4. Borda :
    Derivando em relação a :
    Não há solução real para essa equação, então os extremos ocorrem nas extremidades e :
    Portanto, na borda , o mínimo é -1 e o máximo é 1.

Passo 5

Agora, vamos coletar todos os valores que encontramos:
  • Ponto interno:
  • Borda :
    á
    í
  • Borda :
    á
    í
  • Borda :
    á
    í
  • Borda :
    á
    í

Resposta

O máximo da função no retângulo é , que ocorre no ponto . O mínimo é , que ocorre no ponto .

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Dizemos que um anel comutativo , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Dizemos que um anel A comutativo com unidade, é um corpo, se é o conjunto dos elementos de que possuem inverso.
Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
b) é um anel de integridade.
Dizemos que um anel comutativo A , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
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Analise e associe, a cada afirmação, a opção correta.
Verdadeiro Falso
a) é um anel de integridade.
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
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