Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas. (h) Se é a matriz identidade de ordem é a matriz nula de ordem 3 e , então .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três matrizes: que é a matriz identidade de ordem 3, que é a matriz nula de ordem 3, e uma matriz específica. A afirmação para classificar como verdadeira ou falsa é que . Para resolver, vamos precisar entender as propriedades da matriz identidade e da matriz nula, além de saber como calcular potências de matrizes e realizar operações básicas com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são a matriz identidade e a matriz nula. A matriz identidade de ordem 3 é aquela que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela:
A matriz nula de ordem 3 é uma matriz onde todos os elementos são zero:
Passo 3
Vamos analisar . A propriedade da matriz identidade é que qualquer potência dela continua sendo a própria matriz identidade. Ou seja:
Isso porque multiplicar a matriz identidade por ela mesma várias vezes não altera a matriz.
Passo 4
Agora, vamos calcular . Multiplicar a matriz nula por ela mesma também resulta na matriz nula:
Pois toda entrada será a soma de produtos que envolvem apenas zeros.
Passo 5
Com isso, a expressão se torna:
Adicionando a matriz nula a não muda .
Passo 6
Agora, substituindo na expressão original:
Sabemos que , então:
Multiplicar qualquer matriz por à esquerda ou à direita não altera a matriz.