Ex. 3.5 - Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são
e
. Ache também a área do triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas
,
e
. Nosso objetivo é encontrar os três ângulos desse triângulo e também calcular a área dele. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria, como a fórmula da distância entre pontos, o teorema de Pitágoras para encontrar os lados e a lei dos cossenos para achar os ângulos. Depois, vamos calcular a área usando a fórmula da área de um triângulo com coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. Vamos chamar os pontos de
,
e
.
Para calcular a distância entre dois pontos, usamos a fórmula:
Vamos calcular:
- Lado
:
- Lado
:
- Lado
:
Passo 3
Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos encontrar os ângulos usando a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um ângulo. A fórmula é:
Onde:
-
, e são os lados do triângulo, -
é o ângulo oposto ao lado .
Vamos calcular cada ângulo:
- Ângulo em
( ):
- Ângulo em
( ):
- Ângulo em
( ):
Como a soma dos ângulos de um triângulo é, podemos encontrar subtraindo os outros ângulos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do triângulo usando as coordenadas dos vértices. A fórmula da área usando coordenadas é:
Substituindo os valores:
Resposta
Os três ângulos do triângulo são
,
e
. A área do triângulo é
unidades quadradas.