Ex. 3.5 - Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são e . Ache também a área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas , e . Nosso objetivo é encontrar os três ângulos desse triângulo e também calcular a área dele. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria, como a fórmula da distância entre pontos, o teorema de Pitágoras para encontrar os lados e a lei dos cossenos para achar os ângulos. Depois, vamos calcular a área usando a fórmula da área de um triângulo com coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. Vamos chamar os pontos de , e .
Para calcular a distância entre dois pontos, usamos a fórmula:
Vamos calcular:
  • Lado :
  • Lado :
  • Lado :

Passo 3

Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos encontrar os ângulos usando a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um ângulo. A fórmula é:
Onde:
  • , e são os lados do triângulo,
  • é o ângulo oposto ao lado .
Vamos calcular cada ângulo:
  • Ângulo em ( ):
  • Ângulo em ( ):
  • Ângulo em ( ):
    Como a soma dos ângulos de um triângulo é , podemos encontrar subtraindo os outros ângulos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do triângulo usando as coordenadas dos vértices. A fórmula da área usando coordenadas é:
Á
Substituindo os valores:
Á

Resposta

Os três ângulos do triângulo são , e . A área do triângulo é unidades quadradas.

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Sejam , .
Calcule , onde é o ângulo entre e .
Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas. (h) Se é a matriz identidade de ordem é a matriz nula de ordem 3 e , então .
Determine um vetor ù tal que , onde e .