Ex. 3.5 - Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3). Ache também a área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas (3,1), (5,-2) e (6,3). Nosso objetivo é encontrar os três ângulos desse triângulo e também calcular a área dele. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria, como a fórmula da distância entre pontos, o teorema de Pitágoras para encontrar os lados e a lei dos cossenos para achar os ângulos. Depois, vamos calcular a área usando a fórmula da área de um triângulo com coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. Vamos chamar os pontos de A(3,1), B(5,-2) e C(6,3).
Para calcular a distância entre dois pontos, usamos a fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular:
  • Lado AB:
AB = raiz(5 - 3)^2 + (-2 - 1)^2 = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605
  • Lado BC:
BC = raiz(6 - 5)^2 + (3 - (-2))^2 = raiz1^2 + 5^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,099
  • Lado AC:
AC = raiz(6 - 3)^2 + (3 - 1)^2 = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,605

Passo 3

Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos encontrar os ângulos usando a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um ângulo. A fórmula é:
cos(gamma) = a^2 + b^2 - c^22ab
Onde:
  • a, b e c são os lados do triângulo,
  • gamma é o ângulo oposto ao lado c.
Vamos calcular cada ângulo:
  • Ângulo em A ( alpha):
cos(alpha) = AB^2 + AC^2 - BC^22 cdot AB cdot AC = 13 + 13 - 262 cdot raiz13 cdot raiz13 = 02 cdot 13 = 0
alpha = cos^-1(0) = 90^circ
  • Ângulo em B ( beta):
cos(beta) = AB^2 + BC^2 - AC^22 cdot AB cdot BC = 13 + 26 - 132 cdot raiz13 cdot raiz26 = 262 cdot raiz338 = 13raiz338 approx 0,707
beta = cos^-1(0,707) approx 45^circ
  • Ângulo em C ( gamma):
    Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180^circ, podemos encontrar gamma subtraindo os outros ângulos:
gamma = 180^circ - alpha - beta = 180^circ - 90^circ - 45^circ = 45^circ

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do triângulo usando as coordenadas dos vértices. A fórmula da área usando coordenadas é:
Área = 12 |xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)| Á
Substituindo os valores:
Área = 12 |3(-2 - 3) + 5(3 - 1) + 6(1 - (-2))| Á
= 12 |3(-5) + 5(2) + 6(3)|
= 12 | -15 + 10 + 18 |
= 12 |13|
= 132 = 6,5 unidades quadradas

Resposta

Os três ângulos do triângulo são alpha = 90^circ, beta = 45^circ e gamma = 45^circ. A área do triângulo é 6,5 unidades quadradas.

Exercícios relacionados