Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) várias afirmações sobre matrizes. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos como multiplicação de matrizes, propriedades das matrizes identidade e nula, e como certas operações afetam as dimensões das matrizes. Vou explicar tudo passo a passo pra facilitar.
Passo 2
(a) Se , e , então e .
Falso (F).
Justificativa: Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, é uma matriz de (transposta de ) e é . A multiplicação resulta em , o que significa que deve ter 2 linhas. Portanto, , mas não necessariamente tem que ser 4; na verdade, para a multiplicação ser possível, deve ser 4, confirmando que a afirmação está correta. Contudo, houve um equívoco na interpretação inicial, portanto a afirmação é verdadeira (V).
Passo 3
(b) Se A - C + C = B - C + C , A = B e são matrizes de mesma ordem e , então .
Verdadeiro (V).
Justificativa: Se subtraímos de e de e os resultados são iguais, podemos simplesmente adicionar em ambos os lados da equação:
Justificativa: A expressão se expande para . A igualdade só é válida se , ou seja, se e comutam. Como isso nem sempre acontece, a afirmação não é verdadeira em geral.
Passo 5
(d) Se e são matrizes , então .
Falso (F).
Justificativa: Mesmo que duas matrizes sejam quadradas e da mesma ordem, isso não garante que elas comutem na multiplicação. Existem matrizes que não satisfazem . A comutatividade depende das propriedades específicas das matrizes em questão.
Passo 6
(e) Se , e são matrizes tais que e estão definidas, então e devem ter a mesma ordem.
Falso (F).
Justificativa: Para que e estejam definidas, o número de colunas de e deve ser igual ao número de linhas de , mas e podem ter diferentes números de linhas. Ou seja, pode ser e pode ser , desde que seja . Assim, e não precisam ter a mesma ordem.
Passo 7
(f) Se e são matrizes quadradas e é uma matriz qualquer, tais que e estão definidas, então e têm a mesma ordem.
Verdadeiro (V).
Justificativa: Como e são matrizes quadradas e e estão definidas, deve ter o mesmo número de linhas que e têm colunas, ou seja, deve ser compatível para ambas as multiplicações. Como e são quadradas, elas devem ter a mesma ordem para que possa multiplicar ambas.
Passo 8
(g) Se e são matrizes tais que e estão definidas, então e devem ser quadradas de mesma ordem.
Falso (F).
Justificativa: Para que e estejam definidas, deve ser e deve ser . Isso não necessariamente implica que . Por exemplo, pode ser e pode ser , permitindo ser e ser . Logo, e não precisam ser quadradas ou de mesma ordem.
Passo 9
(h) Se rrr1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 1 & -2 é a matriz identidade de ordem I^4(A + O^2)I^3 = I(A + O)I = IAI = A , é a matriz nula de ordem e , então .
Verdadeiro (V).
Justificativa: A matriz identidade elevada a qualquer potência é ela mesma, ou seja, e . A matriz nula ao quadrado continua sendo . Então: