Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
(a) Se A in M6 times 4, B in Mm times n e B^T A^T in M2 times 6, então m=4 e n=2.
(b) Se A, B e C são matrizes de mesma ordem e A-C=B-C, então A=B.
© Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então (A+B)^2= A^2+2 A B+B^2.
(d) Se A e B são matrizes 2 times 2, então A B=B A.
(e) Se A, B e C são matrizes tais que A C e B C estão definidas, então A e B devem ter a mesma ordem.
(f) Se A e B são matrizes quadradas e C é uma matriz qualquer, tais que A C e B C estão definidas, então A e B tem a mesma ordem.
(g) Se A e B são matrizes tais que A B e B A estão definidas, então A e B devem ser quadradas de mesma ordem.
(h) Se I é a matriz identidade de ordem 3, O é a matriz nula de ordem 3 e A=[rrr1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 1 & -2], então I^4(A+O^2) I^3=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) várias afirmações sobre matrizes. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos como multiplicação de matrizes, propriedades das matrizes identidade e nula, e como certas operações afetam as dimensões das matrizes. Vou explicar tudo passo a passo pra facilitar.

Passo 2

(a) Se , e , então e .

Falso (F).
Justificativa: Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, é uma matriz de (transposta de ) e é . A multiplicação resulta em , o que significa que deve ter 2 linhas. Portanto, , mas não necessariamente tem que ser 4; na verdade, para a multiplicação ser possível, deve ser 4, confirmando que a afirmação está correta. Contudo, houve um equívoco na interpretação inicial, portanto a afirmação é verdadeira (V).

Passo 3

(b) Se A - C + C = B - C + C , A = B e são matrizes de mesma ordem e , então .

Verdadeiro (V).
Justificativa: Se subtraímos de e de e os resultados são iguais, podemos simplesmente adicionar em ambos os lados da equação:
Portanto, as matrizes e são iguais.

Passo 4

© Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então .

Falso (F).
Justificativa: A expressão se expande para . A igualdade só é válida se , ou seja, se e comutam. Como isso nem sempre acontece, a afirmação não é verdadeira em geral.

Passo 5

(d) Se e são matrizes , então .

Falso (F).
Justificativa: Mesmo que duas matrizes sejam quadradas e da mesma ordem, isso não garante que elas comutem na multiplicação. Existem matrizes que não satisfazem . A comutatividade depende das propriedades específicas das matrizes em questão.

Passo 6

(e) Se , e são matrizes tais que e estão definidas, então e devem ter a mesma ordem.

Falso (F).
Justificativa: Para que e estejam definidas, o número de colunas de e deve ser igual ao número de linhas de , mas e podem ter diferentes números de linhas. Ou seja, pode ser e pode ser , desde que seja . Assim, e não precisam ter a mesma ordem.

Passo 7

(f) Se e são matrizes quadradas e é uma matriz qualquer, tais que e estão definidas, então e têm a mesma ordem.

Verdadeiro (V).
Justificativa: Como e são matrizes quadradas e e estão definidas, deve ter o mesmo número de linhas que e têm colunas, ou seja, deve ser compatível para ambas as multiplicações. Como e são quadradas, elas devem ter a mesma ordem para que possa multiplicar ambas.

Passo 8

(g) Se e são matrizes tais que e estão definidas, então e devem ser quadradas de mesma ordem.

Falso (F).
Justificativa: Para que e estejam definidas, deve ser e deve ser . Isso não necessariamente implica que . Por exemplo, pode ser e pode ser , permitindo ser e ser . Logo, e não precisam ser quadradas ou de mesma ordem.

Passo 9

(h) Se rrr1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 1 & -2 é a matriz identidade de ordem I^4(A + O^2)I^3 = I(A + O)I = IAI = A , é a matriz nula de ordem e , então .

Verdadeiro (V).
Justificativa: A matriz identidade elevada a qualquer potência é ela mesma, ou seja, e . A matriz nula ao quadrado continua sendo . Então:
Portanto, a igualdade é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) V
© F
(d) F
(e) F
(f) V
(g) F
(h) V

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(i) Se a=b=c=d, então todo vetor X=(x1, x2) de R^2 é solução de A X=0;
(ii) Se a d-b c=0, então o sistema A X=0 só possui a solução trivial x1=x2=0;
(iii) Se A neq 0 e a d-b c=0, então o conjunto das soluções reais de A X=0 é uma reta que passa pela origem de R^2.
Sejam A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], C=[ccc1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4], D=[ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]. Calcule as seguintes operações (quando possível):
(b) (C A)^T
Seja A uma matriz n times n. Demonstre as seguintes afirmações:
(i) Se A é inversível e existe uma matriz B, n times n, tal que A B=0, então B=0.
(ii) Se A não é inversível, existe uma matriz não nula B, n times n tal que A B=0.
Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
e) ( ) A matriz (cc0 & -2 0 & 1) pertence ao subespaço W=(cc2 a & a+b a & a-b) ; a, b in RR