Seja
uma matriz
. Demonstre as seguintes afirmações:
(i) Se
é inversível e existe uma matriz
, tal que
, então
.
(ii) Se
não é inversível, existe uma matriz não nula
tal que
.
(i) Se
(ii) Se
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar duas afirmações sobre matrizes quadradas
. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como isso se relaciona com a existência de matrizes que, quando multiplicadas por
, resultam na matriz zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(i) Se
é inversível e existe uma matriz
,
, tal que
, então
.
Uma matriz
é dita inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Se
é inversível e
, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação pela matriz inversa
:
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes:
Como
, temos:
Ou seja,
deve ser a matriz zero.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(ii) Se
não é inversível, existe uma matriz não nula
,
, tal que
.
Se
não é inversível, isso significa que o determinante de
é zero (
), ou equivalentemente, que
não tem nenhuma matriz inversa. Nesse caso,
é uma transformação linear singular, o que implica que existe pelo menos um vetor não nulo
tal que
.
Para generalizar isso para matrizes, vamos considerar que podemos construir uma matriz
cujas colunas são combinações desses vetores
. Como
envia cada coluna de
para zero, teremos
. Importante notar que
não será a matriz zero, já que suas colunas são vetores não nulos.
Resposta
Assim, demonstramos que:
(i) Se
é inversível e
, então
.
(ii) Se
não é inversível, existe uma matriz não nula
tal que
.