Seja A uma matriz n times n. Demonstre as seguintes afirmações:
(i) Se A é inversível e existe uma matriz B, n times n, tal que A B=0, então B=0.
(ii) Se A não é inversível, existe uma matriz não nula B, n times n tal que A B=0.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar duas afirmações sobre matrizes quadradas . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como isso se relaciona com a existência de matrizes que, quando multiplicadas por , resultam na matriz zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação:
(i) Se A A^-1 = A^-1 A = I é inversível e existe uma matriz A^-1 (A B) = A^-1 0 , (A^-1 A) B = 0 , tal que I B = B = 0 , então .
Uma matriz é dita inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Se é inversível e , podemos multiplicar ambos os lados dessa equação pela matriz inversa :
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes:
Como , temos:
Ou seja, deve ser a matriz zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação:
(ii) Se não é inversível, existe uma matriz não nula , , tal que .
Se não é inversível, isso significa que o determinante de é zero ( ), ou equivalentemente, que não tem nenhuma matriz inversa. Nesse caso, é uma transformação linear singular, o que implica que existe pelo menos um vetor não nulo tal que .
Para generalizar isso para matrizes, vamos considerar que podemos construir uma matriz cujas colunas são combinações desses vetores . Como envia cada coluna de para zero, teremos . Importante notar que não será a matriz zero, já que suas colunas são vetores não nulos.

Resposta

Assim, demonstramos que:
(i) Se é inversível e , então .
(ii) Se não é inversível, existe uma matriz não nula tal que .

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