Seja A uma matriz n times n. Demonstre as seguintes afirmações:
(i) Se A é inversível e existe uma matriz B, n times n, tal que A B=0, então B=0.
(ii) Se A não é inversível, existe uma matriz não nula B, n times n tal que A B=0.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar duas afirmações sobre matrizes quadradas . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de matrizes invertíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como isso se relaciona com a existência de matrizes que, quando multiplicadas por , resultam na matriz zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação:
(i) Se A A^-1 = A^-1 A = I é inversível e existe uma matriz A^-1 (A B) = A^-1 0 , (A^-1 A) B = 0 , tal que I B = B = 0 , então .
Uma matriz é dita inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Se é inversível e , podemos multiplicar ambos os lados dessa equação pela matriz inversa :
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes:
Como , temos:
Ou seja, deve ser a matriz zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação:
(ii) Se não é inversível, existe uma matriz não nula , , tal que .
Se não é inversível, isso significa que o determinante de é zero ( ), ou equivalentemente, que não tem nenhuma matriz inversa. Nesse caso, é uma transformação linear singular, o que implica que existe pelo menos um vetor não nulo tal que .
Para generalizar isso para matrizes, vamos considerar que podemos construir uma matriz cujas colunas são combinações desses vetores . Como envia cada coluna de para zero, teremos . Importante notar que não será a matriz zero, já que suas colunas são vetores não nulos.

Resposta

Assim, demonstramos que:
(i) Se é inversível e , então .
(ii) Se não é inversível, existe uma matriz não nula tal que .

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
(a) Se A in M6 times 4, B in Mm times n e B^T A^T in M2 times 6, então m=4 e n=2.
(b) Se A, B e C são matrizes de mesma ordem e A-C=B-C, então A=B.
© Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então (A+B)^2= A^2+2 A B+B^2.
(d) Se A e B são matrizes 2 times 2, então A B=B A.
(e) Se A, B e C são matrizes tais que A C e B C estão definidas, então A e B devem ter a mesma ordem.
(f) Se A e B são matrizes quadradas e C é uma matriz qualquer, tais que A C e B C estão definidas, então A e B tem a mesma ordem.
(g) Se A e B são matrizes tais que A B e B A estão definidas, então A e B devem ser quadradas de mesma ordem.
(h) Se I é a matriz identidade de ordem 3, O é a matriz nula de ordem 3 e A=[rrr1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 1 & -2], então I^4(A+O^2) I^3=A.
Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(i) Se a=b=c=d, então todo vetor X=(x1, x2) de R^2 é solução de A X=0;
(ii) Se a d-b c=0, então o sistema A X=0 só possui a solução trivial x1=x2=0;
(iii) Se A neq 0 e a d-b c=0, então o conjunto das soluções reais de A X=0 é uma reta que passa pela origem de R^2.
Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
e) ( ) A matriz (cc0 & -2 0 & 1) pertence ao subespaço W=(cc2 a & a+b a & a-b) ; a, b in RR
Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
b) uma base e dimensão de W.