Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(i) Se a=b=c=d, então todo vetor X=(x1, x2) de R^2 é solução de A X=0;
(ii) Se a d-b c=0, então o sistema A X=0 só possui a solução trivial x1=x2=0;
(iii) Se A neq 0 e a d-b c=0, então o conjunto das soluções reais de A X=0 é uma reta que passa pela origem de R^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo da forma , onde é uma matriz com entradas . O objetivo é verificar se três afirmações sobre as soluções desse sistema são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre determinantes de matrizes, soluções triviais e não triviais de sistemas lineares, e como as propriedades da matriz influenciam essas soluções.

Passo 2

Afirmação (i): Se A = a & a a & a , então todo vetor A X = a & a a & a x1 x2 = a x1 + a x2 a x1 + a x2 de a x1 + a x2 = 0 é solução de .
Vamos analisar isso. Se , então a matriz fica assim:
Multiplicando por um vetor :
Para que , precisamos que:
Isso implica que (desde que ). Ou seja, nem todo vetor satisfaz a equação, apenas aqueles onde . Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação (ii): Se , então o sistema só possui a solução trivial .
Aqui, é o determinante da matriz . Quando o determinante é zero, a matriz é singular, ou seja, não inversível, o que indica que o sistema tem infinitas soluções ou apenas a trivial, dependendo das condições.
No caso de sistemas homogêneos ( ), se o determinante for diferente de zero ( ), então só há a solução trivial. Mas se o determinante for zero, isso significa que há infinitas soluções (não apenas a trivial).
Portanto, se , o sistema não possui apenas a solução trivial. A afirmação afirma o contrário, então ela é falsa.

Passo 4

Afirmação (iii): Se e , então o conjunto das soluções reais de é uma reta que passa pela origem de .
Vamos analisar:
  • significa que nem todos os elementos da matriz são zero.
  • indica que o determinante é zero, então o sistema tem infinitas soluções.
Em , um sistema homogêneo com infinitas soluções forma uma reta que passa pela origem. Isso porque todas as soluções são múltiplos escalares de um vetor não nulo, formando assim uma linha reta no plano que atravessa a origem.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

(i) Falsa;
(ii) Falsa;
(iii) Verdadeira.

Exercícios relacionados

Sejam A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], C=[ccc1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4], D=[ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]. Calcule as seguintes operações (quando possível):
(b) (C A)^T
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre R ).
(i) S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1=2 x2, x2+4 x4=0, e 4 x2+x3=0.
(ii) S=[llla11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23] in M2 times 3(R) ; a21+a23=0, a11=0 e a12+a22+1=0
(iii) S=a x^3+b x^2+c x+d in P3[x](R) ; a+b+c+d=0, b=2 c e a=3 d
(iv) S subset Mn times n(R), onde S é o conjunto das matrizes simétricas.
(v) O conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(vi) O conjunto dos vetores de R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais.
(vii) O conjunto dos vetores de R^n que têm k coordenadas iguais.
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano R^3.
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano R^3.
Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
(a) Se A in M6 times 4, B in Mm times n e B^T A^T in M2 times 6, então m=4 e n=2.
(b) Se A, B e C são matrizes de mesma ordem e A-C=B-C, então A=B.
© Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então (A+B)^2= A^2+2 A B+B^2.
(d) Se A e B são matrizes 2 times 2, então A B=B A.
(e) Se A, B e C são matrizes tais que A C e B C estão definidas, então A e B devem ter a mesma ordem.
(f) Se A e B são matrizes quadradas e C é uma matriz qualquer, tais que A C e B C estão definidas, então A e B tem a mesma ordem.
(g) Se A e B são matrizes tais que A B e B A estão definidas, então A e B devem ser quadradas de mesma ordem.
(h) Se I é a matriz identidade de ordem 3, O é a matriz nula de ordem 3 e A=[rrr1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 1 & -2], então I^4(A+O^2) I^3=A.
Seja A uma matriz n times n. Demonstre as seguintes afirmações:
(i) Se A é inversível e existe uma matriz B, n times n, tal que A B=0, então B=0.
(ii) Se A não é inversível, existe uma matriz não nula B, n times n tal que A B=0.