Considere o sistema linear homogêneo , em que . Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(i) Se , então todo vetor de é solução de ;
(ii) Se , então o sistema só possui a solução trivial ;
(iii) Se e , então o conjunto das soluções reais de é uma reta que passa pela origem de .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo da forma , onde é uma matriz com entradas . O objetivo é verificar se três afirmações sobre as soluções desse sistema são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre determinantes de matrizes, soluções triviais e não triviais de sistemas lineares, e como as propriedades da matriz influenciam essas soluções.
Passo 2
Afirmação (i):Se , então todo vetor de é solução de .
Vamos analisar isso. Se , então a matriz fica assim:
Multiplicando por um vetor :
Para que , precisamos que:
Isso implica que (desde que ). Ou seja, nem todo vetor satisfaz a equação, apenas aqueles onde . Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação (ii):Se , então o sistema só possui a solução trivial .
Aqui, é o determinante da matriz . Quando o determinante é zero, a matriz é singular, ou seja, não inversível, o que indica que o sistema tem infinitas soluções ou apenas a trivial, dependendo das condições.
No caso de sistemas homogêneos (), se o determinante for diferente de zero (), então só há a solução trivial. Mas se o determinante for zero, isso significa que há infinitas soluções (não apenas a trivial).
Portanto, se , o sistema não possui apenas a solução trivial. A afirmação afirma o contrário, então ela é falsa.
Passo 4
Afirmação (iii):Se e , então o conjunto das soluções reais de é uma reta que passa pela origem de .
Vamos analisar:
significa que nem todos os elementos da matriz são zero.
indica que o determinante é zero, então o sistema tem infinitas soluções.
Em , um sistema homogêneo com infinitas soluções forma uma reta que passa pela origem. Isso porque todas as soluções são múltiplos escalares de um vetor não nulo, formando assim uma linha reta no plano que atravessa a origem.