Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se sumn=1^infty an converge absolutamente, então sumn=1^infty an^2 também converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Se a série sumn=1^infty an converge absolutamente, então a série sumn=1^infty an^2 também converge” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série sum an converge absolutamente se a série das magnitudes sum |an| também converge. Isso é importante porque séries que convergem absolutamente têm propriedades bem legais, facilitando a análise da sua convergência.

Passo 3

Agora, queremos saber se a série dos quadrados, sum an^2, também converge. Para isso, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar duas séries para determinar a convergência de uma delas com base na outra.

Passo 4

Como sum |an| converge absolutamente, sabemos que os termos |an| tendem a zero conforme n aumenta. Logo, para n suficientemente grande, temos que an^2 <= |an|, porque |an| <= 1 (já que está tendendo a zero). Assim, se sum |an| converge, então sum an^2, que tem termos menores ou iguais, também converge por comparação.

Resposta

Verdadeira. Se sumn=1^infty an converge absolutamente, então sumn=1^infty an^2 também converge.

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