Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se
converge absolutamente, então
também converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Se a série
converge absolutamente, então a série
também converge” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série
converge absolutamente se a série das magnitudes
também converge. Isso é importante porque séries que convergem absolutamente têm propriedades bem legais, facilitando a análise da sua convergência.
Passo 3
Agora, queremos saber se a série dos quadrados,
, também converge. Para isso, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar duas séries para determinar a convergência de uma delas com base na outra.
Passo 4
Como
converge absolutamente, sabemos que os termos
tendem a zero conforme
aumenta. Logo, para
suficientemente grande, temos que
, porque
(já que está tendendo a zero). Assim, se
converge, então
, que tem termos menores ou iguais, também converge por comparação.
Resposta
Verdadeira. Se
converge absolutamente, então
também converge.
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Use a definição para mostrar que
. (Lembre que primeiro conjectura-se o
, em seguida, prova-se o limite.)
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se
converge absolutamente, então
converge.
Calcule o limite da sequência
.