Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se converge absolutamente, então também converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Se a série converge absolutamente, então a série também converge” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série converge absolutamente se a série das magnitudes também converge. Isso é importante porque séries que convergem absolutamente têm propriedades bem legais, facilitando a análise da sua convergência.

Passo 3

Agora, queremos saber se a série dos quadrados, , também converge. Para isso, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar duas séries para determinar a convergência de uma delas com base na outra.

Passo 4

Como converge absolutamente, sabemos que os termos tendem a zero conforme aumenta. Logo, para suficientemente grande, temos que , porque (já que está tendendo a zero). Assim, se converge, então , que tem termos menores ou iguais, também converge por comparação.

Resposta

Verdadeira. Se converge absolutamente, então também converge.

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Use a definição para mostrar que . (Lembre que primeiro conjectura-se o , em seguida, prova-se o limite.)
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se converge absolutamente, então converge.
Calcule o limite da sequência .