Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se converge absolutamente, então converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está nos pedindo para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação é:
“Se converge absolutamente, então converge.”
Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, convergência absoluta e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o que significa a série convergir absolutamente? Isso quer dizer que a série formada pelos valores absolutos dos termos, , também converge. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original.

Passo 3

Agora, precisamos analisar a série . Vamos olhar para o termo geral dessa série: .
Observemos que para todo , temos:
Além disso, se tende a zero, que é necessário para a convergência da série original, então também tende a zero.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação para verificar a convergência da série .
Sabemos que se converge (convergência absoluta), então tende a zero e, consequentemente, também tende a zero.
Além disso, temos:
Porque , então o denominador é maior ou igual a 1, tornando a fração menor ou igual a .

Passo 5

Agora, consideramos a série . Como converge absolutamente, então, por consequência, também converge. Isso ocorre porque para , e para termos suficientemente grandes, tende a zero.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação, já que e converge, então a série também converge.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se converge absolutamente, então também converge.

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Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se converge absolutamente, então também converge.
Use a definição para mostrar que . (Lembre que primeiro conjectura-se o , em seguida, prova-se o limite.)
Calcule o limite da sequência .
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(g)