Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se
converge absolutamente, então
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está nos pedindo para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação é:
“Se
converge absolutamente, então
converge.”
Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, convergência absoluta e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, o que significa a série
convergir absolutamente? Isso quer dizer que a série formada pelos valores absolutos dos termos,
, também converge. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original.
Passo 3
Agora, precisamos analisar a série
. Vamos olhar para o termo geral dessa série:
.
Observemos que para todo
, temos:
Além disso, se
tende a zero, que é necessário para a convergência da série original, então
também tende a zero.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação para verificar a convergência da série
.
Sabemos que se
converge (convergência absoluta), então
tende a zero e, consequentemente,
também tende a zero.
Além disso, temos:
Porque
, então o denominador é maior ou igual a 1, tornando a fração menor ou igual a
.
Passo 5
Agora, consideramos a série
. Como
converge absolutamente, então, por consequência,
também converge. Isso ocorre porque
para
, e para termos suficientemente grandes,
tende a zero.
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação, já que
e
converge, então a série
também converge.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
converge absolutamente, então
também converge.
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converge absolutamente, então
também converge.
Use a definição para mostrar que
. (Lembre que primeiro conjectura-se o
, em seguida, prova-se o limite.)
Calcule o limite da sequência
.
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(g)
(g)