Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Provando as que forem verdadeiras e apresentado um contra-exemplo para as que forem falsas. Se sumn=1^infty an converge absolutamente, então sumn=1^infty an^21+an^2 converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está nos pedindo para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação é:
“Se sumn=1^infty an converge absolutamente, então sumn=1^infty an^21+an^2 converge.”
Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, convergência absoluta e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o que significa a série sumn=1^infty an convergir absolutamente? Isso quer dizer que a série formada pelos valores absolutos dos termos, sumn=1^infty |an|, também converge. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original.

Passo 3

Agora, precisamos analisar a série sumn=1^infty an^21+an^2. Vamos olhar para o termo geral dessa série: an^21+an^2.
Observemos que para todo an, temos:
0 <= an^21+an^2 < 1
Além disso, se an tende a zero, que é necessário para a convergência da série original, então an^21+an^2 também tende a zero.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação para verificar a convergência da série sumn=1^infty an^21+an^2.
Sabemos que se sumn=1^infty |an| converge (convergência absoluta), então |an| tende a zero e, consequentemente, an^2 também tende a zero.
Além disso, temos:
0 <= an^21+an^2 <= an^2
Porque 1 + an^2 >= 1, então o denominador é maior ou igual a 1, tornando a fração menor ou igual a an^2.

Passo 5

Agora, consideramos a série sumn=1^infty an^2. Como sumn=1^infty |an| converge absolutamente, então, por consequência, sumn=1^infty an^2 também converge. Isso ocorre porque an^2 <= |an| para |an| <= 1, e para termos suficientemente grandes, an tende a zero.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação, já que 0 <= an^21+an^2 <= an^2 e sumn=1^infty an^2 converge, então a série sumn=1^infty an^21+an^2 também converge.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se sumn=1^infty an converge absolutamente, então sumn=1^infty an^21+an^2 também converge.

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