Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com o traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Além disso, temos duas matrizes quadradas e de ordem 3. Nosso objetivo é calcular e e verificar algumas propriedades do traço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o traço e como calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o traço da matriz Tr(A) = a11 + a22 + a33 . Olhando para a definição:
A = 1 & -1 & -3 1 & 3 & -5 9 & -2 & 1
Na matriz Tr(A) = 1 + 3 + 1 = 5 :
Então, os elementos da diagonal principal são , e . Assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular o traço da matriz Tr(B) = b11 + b22 + b33 . Usando a mesma fórmula:
B = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Na matriz Tr(B) = 0 + 0 + 0 = 0 :
Os elementos da diagonal principal são , e . Assim:
Passo 4
Agora que temos os traços de A + B = 1+0 & -1+1 & -3+1 1+1 & 3+0 & -5+1 9+0 & -2+1 & 1+0 = 1 & 0 & -2 2 & 3 & -4 9 & -1 & 1 e Tr(A + B) = 1 + 3 + 1 = 5 , vamos verificar a parte (a): Mostrar que Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) .
Primeiro, vamos calcular :
Agora, o traço de :
E sabemos que . Portanto:
Passo 5
Vamos para a parte (b): Mostrar que lambda A = lambda cdot 1 & lambda cdot (-1) & lambda cdot (-3) lambda cdot 1 & lambda cdot 3 & lambda cdot (-5) lambda cdot 9 & lambda cdot (-2) & lambda cdot 1 para qualquer escalar Tr(lambda A) = lambda cdot 1 + lambda cdot 3 + lambda cdot 1 = lambda (1 + 3 + 1) = lambda cdot 5 = lambda Tr(A) .
Primeiro, vamos entender que multiplicar matrizes nem sempre é comutativo, ou seja, pode não ser igual a . No entanto, o traço dessas multiplicações é igual.
Vamos calcular e :
(Para simplificar, vamos direto ao traço sem calcular todas as entradas.)
Sabemos que devido à propriedade ciclíca do traço, que afirma que a soma dos produtos é a mesma para e .
Passo 7
Parte (d): Mostrar que Tr(A^t) = a11 + a22 + a33 = Tr(A) .
A matriz transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas. Mas o traço depende apenas dos elementos da diagonal principal, que permanecem os mesmos após a transposição. Então:
Vamos entender que é uma matriz resultante da multiplicação de pela sua transposta. O traço dessa matriz será a soma dos quadrados dos elementos de , o que sempre é positivo se não for a matriz nula.
Para :
Para :
Resposta
Calculamos que e . Verificamos todas as propriedades solicitadas, confirmando que: