Resolver, no conjunto dos números reais, as equações:
b) |lll2 & x-2 & 1 1 & x+3 & 4 3 & x+1 & 5|=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação onde o determinante de uma matriz 3x3 é igual a 5. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz dada e depois resolver a equação resultante para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que temos:
2 & x-2 & 1 1 & x+3 & 4 3 & x+1 & 5

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Determinante = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde os elementos da matriz são:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
Determinante = 2 cdot [(x+3)cdot 5 - 4cdot (x+1)] - (x-2) cdot [1cdot 5 - 4cdot 3] + 1 cdot [1cdot (x+1) - (x+3)cdot 3]

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
2 cdot [(x+3) cdot 5 - 4 cdot (x+1)] = 2 cdot [5x + 15 - 4x - 4] = 2 cdot [x + 11] = 2x + 22
  1. Segundo termo:
-(x-2) cdot [1 cdot 5 - 4 cdot 3] = -(x-2) cdot [5 - 12] = -(x-2) cdot (-7) = 7(x-2) = 7x - 14
  1. Terceiro termo:
1 cdot [1 cdot (x+1) - (x+3) cdot 3] = 1 cdot [x + 1 - 3x - 9] = 1 cdot [-2x - 8] = -2x - 8

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados:
2x + 22 + 7x - 14 - 2x - 8 = (2x + 7x - 2x) + (22 - 14 - 8) = 7x + 0 = 7x
Então, o determinante é .

Passo 6

De acordo com o enunciado, esse determinante deve ser igual a 5:
7x = 5
Agora, vamos resolver para x = 57 :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação é .

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