Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(1,0,1). Decomponha u como soma de vetores u1 e u2 sendo u1 paralelo a v e u2 ortogonal a v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores, u = (1, 2, 3) e v = (1, 0, 1). Precisamos decompor o vetor u em dois vetores: u1, que é paralelo a v, e u2, que é ortogonal a v. Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e produto escalar.

Passo 2

Para encontrar u1, que é paralelo a v, usamos a projeção de u em v. A fórmula da projeção é:
u1 = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores u e v, e |v| é o módulo de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(1) + (2)(0) + (3)(1) = 1 + 0 + 3 = 4

Passo 4

Agora, calculamos o módulo de v:
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Portanto, |v|^2 = (raiz2)^2 = 2.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
u1 = ( 42 ) v = 2 v = 2(1, 0, 1) = (2, 0, 2)
Então, u1 = (2, 0, 2).

Passo 6

Agora, para encontrar u2, que é ortogonal a v, usamos a relação:
u2 = u - u1
Subtraindo os componentes de u1 de u:
u2 = (1, 2, 3) - (2, 0, 2) = (1-2, 2-0, 3-2) = (-1, 2, 1)

Resposta

A decomposição do vetor u = (1, 2, 3) é:
u1 = (2, 0, 2) e u2 = (-1, 2, 1)

Exercícios relacionados