Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam uma matriz e uma matriz . Se tem somente a solução trivial, tem solução única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre sistemas lineares envolvendo matrizes. Temos uma matriz de tamanho e uma matriz de tamanho . A afirmação diz que se a equação tem somente a solução trivial (ou seja, ), então a equação tem solução única. Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de álgebra linear, como a solução de sistemas lineares e a relação entre a unicidade das soluções e a dependência linear das colunas da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter apenas a solução trivial. Isso indica que as colunas de são linearmente independentes. Ou seja, nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Essa propriedade é importante porque afeta a solução de sistemas lineares envolvendo .
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte: . Sabemos que se as colunas de são linearmente independentes (como vimos no Passo 2), então a matriz tem posto máximo, que nesse caso é igual a (o número de colunas). Isso significa que o sistema terá uma solução única se e somente se estiver no espaço coluna de .
Passo 4
No entanto, apenas sabermos que tem somente a solução trivial não garante que está no espaço coluna de . Ou seja, pode existir ou não uma solução para , mas se existir, ela será única. Portanto, a afirmação de que tem solução única depende de estar no espaço coluna de , o que não foi garantido pela condição inicial.
Resposta
Falsa. A condição de que tem somente a solução trivial garante a unicidade da solução quando possui solução, mas não garante que a solução exista. Portanto, a afirmação está incorreta.