Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: x - y + 2z - w = 0 3x + y + 3z + w = 0 x - y - z + 5w = 0 , , e . São três equações:
Vamos usar o método de Gauss-Jordan para resolver esse sistema. Esse método ajuda a simplificar a matriz das equações até chegar numa forma onde a gente consegue identificar as soluções facilmente. Vamos precisar transformar essas equações em uma matriz aumentada e depois fazer umas operações nas linhas para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes (no caso, todos iguais a 0):
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável (, , , ) seguida do termo constante.
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminar os coeficientes abaixo do primeiro elemento (que é 1 na primeira linha). Queremos zeros nas posições abaixo do primeiro 1 na coluna de Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 1 Linha 3 = Linha 3 - 1 times Linha 1 .
Para isso, vamos fazer uma nova linha 2 subtraindo 3 vezes a linha 1 da linha 2, e nova linha 3 subtraindo 1 vez a linha 1 da linha 3:
Agora, vamos simplificar a segunda linha. O objetivo é deixar o coeficiente de Linha 2 = 14 times Linha 2 igual a 1. Para isso, vamos dividir toda a linha 2 por 4:
Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Queremos que o coeficiente de Linha 3 = 1-3 times Linha 3 seja 1. Como está -3, vamos dividir a linha 3 por -3:
Agora, vamos eliminar os coeficientes acima do 1 na coluna de Linha 1 = Linha 1 - 2 times Linha 3 . Vamos ajustar a linha 1 e a linha 2 para que os elementos na coluna de 1 & -1 & 0 & 3 & | & 0 0 & 1 & -34 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & -2 & | & 0 fiquem zero.
Primeiro, na linha 1, temos 2 na posição de Linha 2 = Linha 2 + 34 times Linha 3 . Vamos subtrair 2 vezes a linha 3 da linha 1:
Agora, na linha 2, temos na posição de . Vamos adicionar vezes a linha 3 na linha 2:
Calculando:
Passo 7
Por último, vamos eliminar o coeficiente de Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 na linha 1. Na coluna de 1 & 0 & 0 & 52 & | & 0 0 & 1 & 0 & -12 & | & 0 0 & 0 & 1 & -2 & | & 0 , temos -1 na linha 1 e 1 na linha 2. Vamos adicionar a linha 2 à linha 1:
Ficando:
Resposta
Após aplicar o método de Gauss-Jordan, o sistema resolvido fica:
x + 52w = 0 y - 12w = 0 z - 2w = 0
Isso significa que as soluções do sistema são:
x = -52w y = 12w z = 2w w pode ser qualquer número real ú