Encontre todos os valores de a e b, se houver, para os quais o sistema
(a+1) x+ a y-z & =-1 (a+1) y+z & =1 (a+1) x+(3 a+2) y+z & =-1-b
não possui solução,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x, y, z). O objetivo aqui é encontrar os valores de a e b que fazem com que esse sistema não tenha solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e operações lineares, mas de um jeito bem tranquilo, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
(a+1) x + a y - z &= -1 (a+1) y + z &= 1 (a+1) x + (3a+2) y + z &= -1 - b

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes. Ficaria assim:
a+1 & a & -1 & | & -1 0 & a+1 & 1 & | & 1 a+1 & 3a+2 & 1 & | & -1 - b

Passo 4

Nosso próximo passo é escalonar essa matriz para facilitar a visualização das soluções. Vamos fazer algumas operações nas linhas para simplificar:
  1. Subtrair a primeira linha da terceira linha para eliminar o termo (a+1)x da terceira equação.
a+1 & a & -1 & | & -1 0 & a+1 & 1 & | & 1 0 & 2a+2 & 2 & | & -b
  1. Simplificar a terceira linha dividindo todos os termos por 2:
a+1 & a & -1 & | & -1 0 & a+1 & 1 & | & 1 0 & a+1 & 1 & | & -b2

Passo 5

Observamos que a segunda e a terceira linhas estão muito parecidas agora. Para que o sistema não tenha solução, essas duas linhas precisam ser contraditórias. Ou seja, elas não podem ser múltiplos umas das outras após as operações.
Vamos analisar as equações correspondentes:
  • Segunda equação: (a+1)y + z = 1
  • Terceira equação: (a+1)y + z = -b2
Para que haja contradição, temos que:
1 neq -b2
Isso significa que:
-b2 neq 1 Rightarrow b neq -2
Mas também precisamos garantir que o sistema realmente dependa de a de maneira que, para determinados valores de a, essas equações sejam conflitantes independentemente de b. Observando as equações reduzidas, vemos que se a+1 = 0, ou seja, a = -1, a segunda e terceira equações se tornam:
0 cdot y + z = 1 0 cdot y + z = -b2
Isso implica:
z = 1 e z = -b2
O que só é possível se 1 = -b2, ou seja, b = -2. Mas queremos que o sistema não tenha solução, então queremos que essas duas equações sejam contraditórias. Portanto, quando a = -1 e b neq -2, o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema não possui solução quando a = -1 e b neq -2.

Exercícios relacionados