Classifique cada uma das EDP partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y partial x+partial^2 upartial y^2=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Parcial (EDP) do segundo grau, que é esse:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y partial x + partial^2 upartial y^2=0
Nosso objetivo é classificar essa equação, ou seja, descobrir se ela é elíptica, hiperbólica ou parabólica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como categorizar EDPs de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão geral das EDPs de segunda ordem em duas variáveis. A forma geral é:
A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem e termos independentes = 0
Comparando com a nossa EDP:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y partial x + partial^2 upartial y^2=0
Podemos identificar os coeficientes:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de ) → então
  • (coeficiente de )

Passo 3

Agora, para classificar a equação, a gente usa o discriminante da EDP, que é dado por:
De
Vamos calcular:
De

Passo 4

Com o discriminante calculado ( ), a gente classifica a EDP da seguinte forma:
  • Se : Hiperbólica
  • Se : Parabólica
  • Se : Elíptica
No nosso caso, , então a equação é elíptica.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é elíptica.

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