(a) Mostre que, se
, então a solução do item (a) se reduz a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
, onde
é a função delta de Dirac, que é como uma “impulso” concentrado em
. O objetivo é mostrar que a solução
desse sistema, quando aplicado esse impulso, é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta afeta o sistema e usar conceitos de equações diferenciais, especialmente a resposta ao impulso.
Passo 2
A função delta de Dirac,
, atua como um impulso que “aciona” o sistema exatamente em
. Isso significa que antes de
, a entrada é zero e, a partir desse ponto, o sistema responde a esse impulso.
A função de Heaviside,
, é usada para garantir que a resposta só ocorra para
, já que o impulso acontece nesse instante.
Passo 3
Sabemos que a resposta do sistema a um impulso
pode ser encontrada resolvendo uma equação diferencial linear com condições iniciais apropriadas. A solução geral para tal sistema envolve funções exponenciais e senoidais, refletindo a natureza oscilatória e amortecida do sistema.
Passo 4
Aplicando a função delta na equação diferencial, a resposta do sistema começa no instante
. A solução a partir desse ponto é dada por:
Isso porque o termo exponencial representa o decaimento do impulso ao longo do tempo, e o termo senoidal representa a oscilação resultante desse impulso.
Passo 5
Por fim, para garantir que a resposta só ocorra a partir de
, multiplicamos a solução por
:
Isso completa a demonstração de que, com
, a solução do sistema é exatamente essa expressão.
Resposta
A solução é
Exercícios relacionados
Nos problemas de 7 a 12, encontre a transformada de Laplace da função dada.
7.
7.
Calcule a derivada:
Nos problemas de 21 a 24 , determine se a integral dada converge ou diverge.
22.
22.
Classifique cada uma das EDP
;