(a) Mostre que, se f(t) = delta(t - pi), então a solução do item (a) se reduz a
y = u_pi(t) e^{-(t - pi)} sen(t - pi)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função , onde é a função delta de Dirac, que é como uma “impulso” concentrado em . O objetivo é mostrar que a solução desse sistema, quando aplicado esse impulso, é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta afeta o sistema e usar conceitos de equações diferenciais, especialmente a resposta ao impulso.

Passo 2

A função delta de Dirac, , atua como um impulso que “aciona” o sistema exatamente em . Isso significa que antes de , a entrada é zero e, a partir desse ponto, o sistema responde a esse impulso.
A função de Heaviside, , é usada para garantir que a resposta só ocorra para , já que o impulso acontece nesse instante.

Passo 3

Sabemos que a resposta do sistema a um impulso pode ser encontrada resolvendo uma equação diferencial linear com condições iniciais apropriadas. A solução geral para tal sistema envolve funções exponenciais e senoidais, refletindo a natureza oscilatória e amortecida do sistema.

Passo 4

Aplicando a função delta na equação diferencial, a resposta do sistema começa no instante . A solução a partir desse ponto é dada por:
Isso porque o termo exponencial representa o decaimento do impulso ao longo do tempo, e o termo senoidal representa a oscilação resultante desse impulso.

Passo 5

Por fim, para garantir que a resposta só ocorra a partir de , multiplicamos a solução por :
Isso completa a demonstração de que, com , a solução do sistema é exatamente essa expressão.

Resposta

A solução é

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