Nos problemas de 21 a 24 , determine se a integral dada converge ou diverge.
22.
22.
Passo 1
Neste exercício, precisamos verificar se a integral
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral dada é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para determinar a convergência, precisamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 3
Vamos reescrever a integral com um limite superior finito
e, depois, calcular o limite quando
tende a infinito:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
usando integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Escolhemos:
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a
:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
tende a infinito:
Sabemos que
tende a 0 mais rápido que qualquer potência de
cresce, então
também tende a 0. Portanto:
Resposta
A integral
converge e seu valor é 1.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que, se
, então a solução do item (a) se reduz a
Nos problemas de 7 a 12, encontre a transformada de Laplace da função dada.
7.
7.
Classifique cada uma das EDP
;
Utilize separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções da forma de produto para cada EDP a seguir (Considere, quando necessário
).
;