Nos problemas de 21 a 24 , determine se a integral dada converge ou diverge.
22. integral0^infty t e^-t d t

Passo 1

Neste exercício, precisamos verificar se a integral converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dada é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para determinar a convergência, precisamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 3

Vamos reescrever a integral com um limite superior finito integral0^infty t e^-t , dt = limb to infty integral0^b t e^-t , dt e, depois, calcular o limite quando tende a infinito:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Escolhemos:

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral t e^-t , dt = -t e^-t + integral e^-t , dt = -t e^-t - e^-t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a integral0^b t e^-t , dt = [ -t e^-t - e^-t ]0^b = ( -b e^-b - e^-b ) - ( 0 - 1 ) = - (b + 1) e^-b + 1 :

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando limb to infty ( - (b + 1) e^-b + 1 ) tende a infinito:
limb to infty ( - (b + 1) e^-b + 1 ) = 0 + 1 = 1
Sabemos que tende a 0 mais rápido que qualquer potência de cresce, então também tende a 0. Portanto:

Resposta

A integral converge e seu valor é 1.

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