Seja . Determine
(a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada de funções vetoriais e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação a .
Então, temos:
Derivando cada termo:
(A derivada de em relação a é 0, pois é uma constante vetorial.)

Passo 3

Agora, vamos calcular a expressão :
Subtraindo componente por componente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando tende a 0:
Sabemos que:
Substituindo :

Resposta

O limite é .

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Esboce o gráfico de e mostre o sentido crescente de .
30.
(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano .
Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.