Seja r(t)=cos t imath+sen t j+k. Determine
(a). lim t 0[r(t)-r^prime(t)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada de funções vetoriais e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) = cos t , imath + sen t , j + k . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação a r^prime(t) = -sen t , imath + cos t , j + 0 , k .
Então, temos:
Derivando cada termo:
(A derivada de em relação a é 0, pois é uma constante vetorial.)

Passo 3

Agora, vamos calcular a expressão r(t) - r^prime(t) = (cos t , imath + sen t , j + k) - (-sen t , imath + cos t , j + 0 , k) :
Subtraindo componente por componente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando limt to 0 [ (cos t + sen t) , imath + (sen t - cos t) , j + k ] tende a 0:
Sabemos que:
Substituindo cos 0 = 1, sen 0 = 0 :

Resposta

O limite é .

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