Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é classificar essa equação, identificando se ela é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Para fazer isso, vamos precisar entender cada tipo de equação diferencial e ver quais características essa equação possui.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever como um produto de uma função só de e uma função só de . Olhando para , podemos fatorar o lado direito:
Aqui, vemos que conseguimos separar as variáveis e . Então, essa equação é separável.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação linear tem a forma . Vamos tentar reorganizar a nossa equação:
Aqui, além do termo linear , temos um termo quadrático . Como a equação não pode ser expressa apenas em termos lineares de , ela não é linear.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é do tipo Bernoulli. Uma equação de Bernoulli tem a forma . Comparando com nossa equação reorganizada:
Podemos ver que , e . Portanto, essa equação é uma equação de Bernoulli.

Passo 5

Finalmente, vamos analisar se a equação é homogênea ou exata.
  • Homogênea: Requer que a equação possa ser escrita de forma que todos os termos tenham o mesmo grau, geralmente em função de . Nosso caso não se encaixa nisso.
  • Exata: Envolve equações que podem ser derivadas de uma função potencial, onde as derivadas parciais são iguais. Nossa equação está na forma de e não se ajusta a essa categoria diretamente.
Portanto, a equação não é homogênea nem exata.

Resposta

A equação diferencial é separável e do tipo Bernoulli.

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As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que , pode nos levar a uma solução.
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Resolva as integrais indefinidas.