Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é classificar essa equação, identificando se ela é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Para fazer isso, vamos precisar entender cada tipo de equação diferencial e ver quais características essa equação possui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever
como um produto de uma função só de
e uma função só de
. Olhando para
, podemos fatorar o lado direito:
Aqui, vemos que conseguimos separar as variáveis
e
. Então, essa equação é separável.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação linear tem a forma
. Vamos tentar reorganizar a nossa equação:
Aqui, além do termo linear
, temos um termo quadrático
. Como a equação não pode ser expressa apenas em termos lineares de
, ela não é linear.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é do tipo Bernoulli. Uma equação de Bernoulli tem a forma
. Comparando com nossa equação reorganizada:
Podemos ver que
,
e
. Portanto, essa equação é uma equação de Bernoulli.
Passo 5
Finalmente, vamos analisar se a equação é homogênea ou exata.
-
Homogênea: Requer que a equação possa ser escrita de forma que todos os termos tenham o mesmo grau, geralmente em função de
. Nosso caso não se encaixa nisso. -
Exata: Envolve equações que podem ser derivadas de uma função potencial, onde as derivadas parciais são iguais. Nossa equação está na forma de
e não se ajusta a essa categoria diretamente.
Portanto, a equação não é homogênea nem exata.
Resposta
A equação diferencial
é separável e do tipo Bernoulli.
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As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que
, pode nos levar a uma solução.
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Resolva as integrais indefinidas.