Resolva as equações diferenciais a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, precisamos entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação dada:
Isso nos ajuda a ver melhor como as variáveis e estão relacionadas.

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Porém, a equação atual não está separada de forma direta. Para facilitar, vamos considerar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável .

Passo 4

Com , derivando ambos os lados em relação a :
Como já sabemos que , podemos substituir:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Vamos reescrever isso para facilitar a integração:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando, obtemos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Resolva as integrais indefinidas.
Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .
4.