Resolva as equações diferenciais a seguir:
(2 x + y + 1) y' = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, precisamos entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação dada:
Isso nos ajuda a ver melhor como as variáveis x e y estão relacionadas.

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis x e y. Porém, a equação atual não está separada de forma direta. Para facilitar, vamos considerar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável .

Passo 4

Com , derivando ambos os lados em relação a x:
Como já sabemos que , podemos substituir:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para u:
Vamos reescrever isso para facilitar a integração:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando, obtemos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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