Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, precisamos entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação dada:
Isso nos ajuda a ver melhor como as variáveis
e
estão relacionadas.
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Porém, a equação atual não está separada de forma direta. Para facilitar, vamos considerar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir uma nova variável
.
Passo 4
Com
, derivando ambos os lados em relação a
:
Como já sabemos que
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Vamos reescrever isso para facilitar a integração:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando, obtemos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Resolva as integrais indefinidas.
Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
4.
4.