Classifique cada sentença em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique sua resposta: Se a>0 é racional e b é inteiro primo, então raiza b é irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar uma afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação é: “Se é racional e é inteiro primo, então é irracional.” Vamos precisar entender sobre números racionais e irracionais, além de propriedades de números primos e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número racional é aquele que pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Um número irracional não pode ser expresso dessa forma. Além disso, um número primo é um inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo.

Passo 3

Agora, suponha que é racional e é primo. Queremos analisar se é irracional. Para isso, vamos assumir o contrário: que é racional.

Passo 4

Se raiza b = mn for racional, então podemos escrevê-lo como a b = m^2n^2 , onde e são inteiros sem fatores comuns, e . Assim, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por a b n^2 = m^2 :
pq b n^2 = m^2
Como p b n^2 = m^2 q é racional, podemos escrever como , onde e são inteiros. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Aqui, é múltiplo de (já que é primo e está aparecendo multiplicado por outros fatores). Isso implica que também deve ser múltiplo de , já que é primo.

Passo 7

Se p b n^2 = (b k)^2 q Rightarrow p b n^2 = b^2 k^2 q é múltiplo de p n^2 = b k^2 q , então também é múltiplo de . Podemos escrever , onde é um inteiro. Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por :
Isso mostra que também é múltiplo de , mas isso contradiz a suposição inicial de que estava na forma reduzida, ou seja, e não tinham fatores comuns.

Passo 8

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é racional está errada. Portanto, é irracional.

Resposta

A afirmação é verdadeira (V). Se é racional e é primo, então é irracional.

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