Classifique cada sentença em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique sua resposta: Se
é racional e
é inteiro primo, então
é irracional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar uma afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação é: “Se
é racional e
é inteiro primo, então
é irracional.” Vamos precisar entender sobre números racionais e irracionais, além de propriedades de números primos e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número racional é aquele que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Um número irracional não pode ser expresso dessa forma. Além disso, um número primo é um inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
Passo 3
Agora, suponha que
é racional e
é primo. Queremos analisar se
é irracional. Para isso, vamos assumir o contrário: que
é racional.
Passo 4
Se
for racional, então podemos escrevê-lo como
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns, e
. Assim, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
é racional, podemos escrever
como
, onde
e
são inteiros. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Aqui,
é múltiplo de
(já que
é primo e está aparecendo multiplicado por outros fatores). Isso implica que
também deve ser múltiplo de
, já que
é primo.
Passo 7
Se
é múltiplo de
, então
também é múltiplo de
. Podemos escrever
, onde
é um inteiro. Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que
também é múltiplo de
, mas isso contradiz a suposição inicial de que
estava na forma reduzida, ou seja,
e
não tinham fatores comuns.
Passo 8
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que
é racional está errada. Portanto,
é irracional.
Resposta
A afirmação é verdadeira (V). Se
é racional e
é primo, então
é irracional.