Classifique cada sentença em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique sua resposta: Se é racional e é inteiro primo, então é irracional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar uma afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação é: “Se é racional e é inteiro primo, então é irracional.” Vamos precisar entender sobre números racionais e irracionais, além de propriedades de números primos e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número racional é aquele que pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Um número irracional não pode ser expresso dessa forma. Além disso, um número primo é um inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
Passo 3
Agora, suponha que é racional e é primo. Queremos analisar se é irracional. Para isso, vamos assumir o contrário: que é racional.
Passo 4
Se for racional, então podemos escrevê-lo como , onde e são inteiros sem fatores comuns, e . Assim, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por :
Como é racional, podemos escrever como , onde e são inteiros. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Aqui, é múltiplo de (já que é primo e está aparecendo multiplicado por outros fatores). Isso implica que também deve ser múltiplo de , já que é primo.
Passo 7
Se é múltiplo de , então também é múltiplo de . Podemos escrever , onde é um inteiro. Substituindo na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por :
Isso mostra que também é múltiplo de , mas isso contradiz a suposição inicial de que estava na forma reduzida, ou seja, e não tinham fatores comuns.
Passo 8
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é racional está errada. Portanto, é irracional.
Resposta
A afirmação é verdadeira (V). Se é racional e é primo, então é irracional.