Dados os pontos , ache pontos e tais que seja uma base ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos no espaço, e , e pede para encontrar outros dois pontos, e , de forma que os vetores , e formem uma base ortonormal. Isso envolve conceitos de vetores, norma (ou comprimento dos vetores) e ortogonalidade (vetores perpendiculares). Para resolver, vamos precisar calcular vetores, suas normas e garantir que eles sejam mutuamente perpendiculares e com comprimento unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = ( 32 - 1, , 2 + raiz22 - 2, , 72 - 3 ) = ( 12, , raiz22, , 12 ) . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos normalizar | v | = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 para obter | AB | = raiz( 12 )^2 + ( raiz22 )^2 + ( 12 )^2 = raiz 14 + 24 + 14 = raiz1 = 1 , o primeiro vetor da base ortonormal. A norma de um vetor é dada por:
Calculando a norma de :
Então, .
Passo 4
Agora precisamos encontrar e1 cdot e2 = 0 que seja ortogonal a 12a + raiz22b + 12c = 0 e de norma 1. Para isso, podemos escolher um vetor qualquer que seja perpendicular a 12(1) + raiz22b + 12(-1) = 0 Rightarrow raiz22b = 0 Rightarrow b = 0 . Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um vetor que tenha uma componente zero em uma das direções onde tem componentes não nulas.
Vamos tentar encontrar de forma que:
Onde representa o produto escalar. Suponha que . Então: