Dados os pontos , ache pontos e tais que seja uma base ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos no espaço, e , e pede para encontrar outros dois pontos, e , de forma que os vetores , e formem uma base ortonormal. Isso envolve conceitos de vetores, norma (ou comprimento dos vetores) e ortogonalidade (vetores perpendiculares). Para resolver, vamos precisar calcular vetores, suas normas e garantir que eles sejam mutuamente perpendiculares e com comprimento unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos normalizar para obter , o primeiro vetor da base ortonormal. A norma de um vetor é dada por:
Calculando a norma de :
Então, .
Passo 4
Agora precisamos encontrar que seja ortogonal a e de norma 1. Para isso, podemos escolher um vetor qualquer que seja perpendicular a . Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um vetor que tenha uma componente zero em uma das direções onde tem componentes não nulas.
Vamos tentar encontrar de forma que:
Onde representa o produto escalar. Suponha que . Então:
Vamos escolher, por exemplo, e :
Então, .
Passo 5
Agora, vamos normalizar para obter . Calculando a norma:
Para tornar um vetor unitário, dividimos pela sua norma:
Passo 6
Por fim, precisamos encontrar que seja ortogonal tanto a quanto a e tenha norma 1. Podemos usar o produto vetorial entre e para garantir que seja perpendicular a ambos.