Dados os pontos , ache pontos e tais que seja uma base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos no espaço, e , e pede para encontrar outros dois pontos, e , de forma que os vetores , e formem uma base ortonormal. Isso envolve conceitos de vetores, norma (ou comprimento dos vetores) e ortogonalidade (vetores perpendiculares). Para resolver, vamos precisar calcular vetores, suas normas e garantir que eles sejam mutuamente perpendiculares e com comprimento unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos normalizar para obter , o primeiro vetor da base ortonormal. A norma de um vetor é dada por:
Calculando a norma de :
Então, .

Passo 4

Agora precisamos encontrar que seja ortogonal a e de norma 1. Para isso, podemos escolher um vetor qualquer que seja perpendicular a . Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um vetor que tenha uma componente zero em uma das direções onde tem componentes não nulas.
Vamos tentar encontrar de forma que:
Onde representa o produto escalar. Suponha que . Então:
Vamos escolher, por exemplo, e :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos normalizar para obter . Calculando a norma:
Para tornar um vetor unitário, dividimos pela sua norma:

Passo 6

Por fim, precisamos encontrar que seja ortogonal tanto a quanto a e tenha norma 1. Podemos usar o produto vetorial entre e para garantir que seja perpendicular a ambos.
Calculando :
Agora, normalizamos :
Então, .

Resposta

Os pontos e são:

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Classifique cada sentença em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique sua resposta: é um número irracional.
Dadas as matrizes , calcule as matrizes,
Classifique cada sentença em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique sua resposta: Se é racional e é inteiro primo, então é irracional.
Dado o PVI: .
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para e subintervalos.