Dados os pontos A=(1,2,3), B=(32, 2+raiz22, 72), ache pontos C e D tais que e1=A B, e2=A C, e3=A D seja uma base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos no espaço, e , e pede para encontrar outros dois pontos, e , de forma que os vetores , e formem uma base ortonormal. Isso envolve conceitos de vetores, norma (ou comprimento dos vetores) e ortogonalidade (vetores perpendiculares). Para resolver, vamos precisar calcular vetores, suas normas e garantir que eles sejam mutuamente perpendiculares e com comprimento unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = ( 32 - 1, , 2 + raiz22 - 2, , 72 - 3 ) = ( 12, , raiz22, , 12 ) . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos normalizar | v | = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 para obter | AB | = raiz( 12 )^2 + ( raiz22 )^2 + ( 12 )^2 = raiz 14 + 24 + 14 = raiz1 = 1 , o primeiro vetor da base ortonormal. A norma de um vetor é dada por:
Calculando a norma de :
Então, .

Passo 4

Agora precisamos encontrar e1 cdot e2 = 0 que seja ortogonal a 12a + raiz22b + 12c = 0 e de norma 1. Para isso, podemos escolher um vetor qualquer que seja perpendicular a 12(1) + raiz22b + 12(-1) = 0 Rightarrow raiz22b = 0 Rightarrow b = 0 . Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um vetor que tenha uma componente zero em uma das direções onde tem componentes não nulas.
Vamos tentar encontrar de forma que:
Onde representa o produto escalar. Suponha que . Então:
Vamos escolher, por exemplo, e :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos normalizar | AC | = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 para obter e2 = 1raiz2 (1, 0, -1) = ( 1raiz2, , 0, , -1raiz2 ) . Calculando a norma:
Para tornar um vetor unitário, dividimos pela sua norma:

Passo 6

Por fim, precisamos encontrar e3 = i & j & k 12 & raiz22 & 12 1raiz2 & 0 & -1raiz2 que seja ortogonal tanto a = i ( raiz22 cdot (-1raiz2) - 12 cdot 0 ) - j ( 12 cdot (-1raiz2) - 12 cdot 1raiz2 ) + k ( 12 cdot 0 - raiz22 cdot 1raiz2 ) quanto a = i ( - raiz2 2 raiz2 ) - j ( -12 raiz2 - 12 raiz2 ) + k ( 0 - 12 ) e tenha norma 1. Podemos usar o produto vetorial entre = i ( -12 ) - j ( -1raiz2 ) + k ( -12 ) e = ( -12, , 1raiz2, , -12 ) para garantir que | e3 | = raiz ( -12 )^2 + ( 1raiz2 )^2 + ( -12 )^2 = raiz 14 + 12 + 14 = raiz1 = 1 seja perpendicular a ambos.
Calculando :
Agora, normalizamos :
Então, .

Resposta

Os pontos C = A + e2 = (1 + 1raiz2, , 2 + 0, , 3 - 1raiz2 ) = (1 + 1raiz2, , 2, , 3 - 1raiz2 ) e D = A + e3 = (1 - 12, , 2 + 1raiz2, , 3 - 12 ) = ( 12, , 2 + 1raiz2, , 52 ) são:

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