Classifique cada sentença em V (verdadeira) ou F (falsa) e justifique sua resposta: raiz2+raiz2+raiz2+raiz2+cdots é um número irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente decidir se a afirmação " raiz2+raiz2+raiz2+raiz2+cdots é um número irracional" é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender o que significa um número irracional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a expressão significa. Temos uma raiz quadrada dentro de outra, indo pra sempre. Para facilitar, vamos chamar essa expressão de x = raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + cdots . Então:

Passo 3

Agora, como a expressão continua para sempre, podemos substituir a parte dentro da raiz por x = raiz2 + x novamente. Então fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação pra encontrar o valor de x^2 = 2 + x . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado pra eliminar a raiz:

Passo 5

Em seguida, vamos reorganizar a equação pra formar uma equação quadrática:
x^2 - x - 2 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 , e . Substituindo:

Passo 7

Então, temos duas soluções:
x = 1 + 32 = 2 e x = 1 - 32 = -1
Como estamos falando de raízes quadradas, deve ser positivo. Portanto, .

Passo 8

Chegamos ao valor de , que é um número racional, pois pode ser escrito como a fração .

Resposta

Falsa (F). A expressão é igual a 2, que é um número racional.

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