Dado o PVI: d yd x=1-x+4 y, y(0)=1.
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para x in[0,1] e N=4 subintervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial inicial que é do tipo:
d yd x = 1 - x + 4 y, y(0) = 1
O objetivo aqui é encontrar uma solução aproximada para no intervalo de de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 4 partes iguais (ou seja, ). Para isso, vamos usar o Método de Euler, que é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais quando não conseguimos resolver exatamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h = 1 - 04 = 0,25 . Como estamos indo de até com 4 subintervalos, temos:
Isso significa que vamos calcular em e .

Passo 3

O Método de Euler usa a seguinte fórmula para aproximar yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn) em cada passo:
Aqui, é a função que define a derivada, que no nosso caso é . Vamos começar com quando .

Passo 4

Primeiro passo ( x0 = 0, y0 = 1 ):
f(0, 1) = 1 - 0 + 4 times 1 = 5
Calculando y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 1 + 0,25 times 5 = 1 + 1,25 = 2,25 :
Então, aplicando a fórmula de Euler:

Passo 5

Segundo passo ( x1 = 0,25, y1 = 2,25 ):
f(0,25, 2,25) = 1 - 0,25 + 4 times 2,25 = 1 - 0,25 + 9 = 9,75
Calculando y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 2,25 + 0,25 times 9,75 = 2,25 + 2,4375 = 4,6875 :
Aplicando a fórmula de Euler:

Passo 6

Terceiro passo ( x2 = 0,5, y2 = 4,6875 ):
f(0,5, 4,6875) = 1 - 0,5 + 4 times 4,6875 = 1 - 0,5 + 18,75 = 19,25
Calculando y3 = y2 + h cdot f(x2, y2) = 4,6875 + 0,25 times 19,25 = 4,6875 + 4,8125 = 9,5 :
Aplicando a fórmula de Euler:

Passo 7

Quarto passo ( x3 = 0,75, y3 = 9,5 ):
f(0,75, 9,5) = 1 - 0,75 + 4 times 9,5 = 1 - 0,75 + 38 = 38,25
Calculando y4 = y3 + h cdot f(x3, y3) = 9,5 + 0,25 times 38,25 = 9,5 + 9,5625 = 19,0625 :
Aplicando a fórmula de Euler:

Resposta

Portanto, a solução aproximada do PVI para y(1) approx 19,0625 com subintervalos usando o Método de Euler é:

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