Dado o PVI:
.
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para
e
subintervalos.
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial inicial que é do tipo:
O objetivo aqui é encontrar uma solução aproximada para
no intervalo de
de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 4 partes iguais (ou seja,
). Para isso, vamos usar o Método de Euler, que é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais quando não conseguimos resolver exatamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de
. Como estamos indo de
até
com 4 subintervalos, temos:
Isso significa que vamos calcular
em
e
.
Passo 3
O Método de Euler usa a seguinte fórmula para aproximar
em cada passo:
Aqui,
é a função que define a derivada, que no nosso caso é
. Vamos começar com
quando
.
Passo 4
Primeiro passo (
):
Calculando
:
Então, aplicando a fórmula de Euler:
Passo 5
Segundo passo (
):
Calculando
:
Aplicando a fórmula de Euler:
Passo 6
Terceiro passo (
):
Calculando
:
Aplicando a fórmula de Euler:
Passo 7
Quarto passo (
):
Calculando
:
Aplicando a fórmula de Euler:
Resposta
Portanto, a solução aproximada do PVI para
com
subintervalos usando o Método de Euler é: