Dado o PVI: .
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para e subintervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial inicial que é do tipo:
O objetivo aqui é encontrar uma solução aproximada para no intervalo de de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 4 partes iguais (ou seja, ). Para isso, vamos usar o Método de Euler, que é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais quando não conseguimos resolver exatamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de . Como estamos indo de até com 4 subintervalos, temos:
Isso significa que vamos calcular em e .

Passo 3

O Método de Euler usa a seguinte fórmula para aproximar em cada passo:
Aqui, é a função que define a derivada, que no nosso caso é . Vamos começar com quando .

Passo 4

Primeiro passo ( ):
Calculando :
Então, aplicando a fórmula de Euler:

Passo 5

Segundo passo ( ):
Calculando :
Aplicando a fórmula de Euler:

Passo 6

Terceiro passo ( ):
Calculando :
Aplicando a fórmula de Euler:

Passo 7

Quarto passo ( ):
Calculando :
Aplicando a fórmula de Euler:

Resposta

Portanto, a solução aproximada do PVI para com subintervalos usando o Método de Euler é:

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(a) .