Dado o PVI: .
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para e subintervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial inicial que é do tipo:
O objetivo aqui é encontrar uma solução aproximada para no intervalo de de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 4 partes iguais (ou seja, ). Para isso, vamos usar o Método de Euler, que é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais quando não conseguimos resolver exatamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de . Como estamos indo de até com 4 subintervalos, temos:
Isso significa que vamos calcular em e .
Passo 3
O Método de Euler usa a seguinte fórmula para aproximar em cada passo:
Aqui, é a função que define a derivada, que no nosso caso é . Vamos começar com quando .
Passo 4
Primeiro passo ():
Calculando :
Então, aplicando a fórmula de Euler:
Passo 5
Segundo passo ():
Calculando :
Aplicando a fórmula de Euler:
Passo 6
Terceiro passo ():
Calculando :
Aplicando a fórmula de Euler:
Passo 7
Quarto passo ():
Calculando :
Aplicando a fórmula de Euler:
Resposta
Portanto, a solução aproximada do PVI para com subintervalos usando o Método de Euler é: