Prove que se r for um número irracional então 1r também o será.

Passo 1

Vamos provar que se é um número irracional, então também é irracional. Para isso, vamos usar conceitos de números racionais e irracionais e propriedades envolvendo essas categorias de números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Já um número irracional não pode ser escrito dessa forma; sua representação decimal é infinita e não periódica.

Passo 3

Agora, vamos assumir que é irracional. Nosso objetivo é provar que também não pode ser expresso como uma fração de inteiros, ou seja, que é irracional.

Passo 4

Para fazer isso, vamos usar o método da contradição. Suponha, para fins de argumento, que 1r = ab seja racional. Isso significa que existe uma fração , com e inteiros e , tal que:

Passo 5

Se r = ba , então podemos rearranjar essa equação para encontrar :
Aqui, é expresso como a razão de dois inteiros e , com . Isso implica que seria um número racional.

Passo 6

No entanto, isso contraria nossa hipótese inicial de que é irracional. Portanto, nossa suposição de que é racional deve estar errada.

Resposta

Assim, provamos que se é um número irracional, então também é irracional.

Exercícios relacionados