Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) A reta que passa pelos pontos A(2,0,3) e B(2,4,0) é ortogonal ao plano coordenado y z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que classificar a seguinte afirmação como verdadeira ou falsa:
(a) A reta que passa pelos pontos e é ortogonal ao plano coordenado .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de vetores diretores de retas e de ortogonalidade entre vetores e planos.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta que passa pelos pontos v = B - A = (2-2, 4-0, 0-3) = (0, 4, -3) e . O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa a reta ser ortogonal ao plano . Um plano tem uma normal perpendicular a ele. A normal do plano é o vetor , porque o plano é perpendicular ao eixo .
Para que a reta seja ortogonal ao plano, seu vetor diretor precisa ser paralelo à normal do plano. Isso significa que deve ser um múltiplo de .

Passo 4

Vamos verificar se v = k cdot n é paralelo a 0 = k cdot 1 4 = k cdot 0 -3 = k cdot 0 . Dois vetores são paralelos se um é múltiplo do outro, ou seja, se existem um escalar tal que:
Comparando as componentes, teríamos:
A primeira equação nos dá , mas substituindo na segunda e terceira não satisfaz. Portanto, não é paralelo a .

Passo 5

Como o vetor diretor da reta não é paralelo à normal do plano , isso significa que a reta não é ortogonal ao plano. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. A reta que passa pelos pontos e não é ortogonal ao plano coordenado .

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