Para quais valores de a matriz é invertível?

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos descobrir para quais valores de a matriz é invertível. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a matriz tem uma inversa.

Passo 2

Lembrando que uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e descobrir para quais valores de ele não é zero.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de cofatores. Vou usar a regra de cofatores aqui. A matriz dada é:

Passo 4

Usando a regra de cofatores, o determinante ( ) é calculado assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar os cálculos:

Passo 6

Queremos que a matriz seja invertível, ou seja, que . Então, resolvemos a inequação:
Para encontrar os valores de que fazem o determinante ser zero, resolvemos a equação quadrática:

Passo 7

Calculamos o discriminante ( ) da equação quadrática:
Como , a equação tem duas soluções reais:
Então, as soluções são:

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de exceto e .

Exercícios relacionados

Sejam
e seja .
(b) Calcule o determinante da transposta de .
Sejam
e seja .
(a) Calcule os determinantes de e .
Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) A reta que passa pelos pontos e é ortogonal ao plano coordenado .
Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) O plano que contém os pontos e é paralelo ao eixo .