Para quais valores de a a matriz [ccc1 & 0 & 2 1 & a & 1 3 & 1 & 5 a] é invertível?

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos descobrir para quais valores de 1 & 0 & 2 1 & a & 1 3 & 1 & 5a a matriz é invertível. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a matriz tem uma inversa.

Passo 2

Lembrando que uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e descobrir para quais valores de ele não é zero.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 1 & 0 & 2 1 & a & 1 3 & 1 & 5a , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de cofatores. Vou usar a regra de cofatores aqui. A matriz dada é:

Passo 4

Usando a regra de cofatores, o determinante ( det(A) = 1 cdot (a cdot 5a - 1 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 5a - 1 cdot 3) + 2 cdot (1 cdot 1 - a cdot 3) ) é calculado assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar os cálculos:
det(A) = 1 cdot (5a^2 - 1) + 2 cdot (1 - 3a) = 5a^2 - 1 + 2 - 6a = 5a^2 - 6a + 1

Passo 6

Queremos que a matriz seja invertível, ou seja, que 5a^2 - 6a + 1 neq 0 . Então, resolvemos a inequação:
5a^2 - 6a + 1 = 0
Para encontrar os valores de que fazem o determinante ser zero, resolvemos a equação quadrática:

Passo 7

Calculamos o discriminante ( De) da equação quadrática:
a = 6 pm raiz162 cdot 5 = 6 pm 410
Como a = 6 + 410 = 1 e a = 6 - 410 = 15 , a equação tem duas soluções reais:
Então, as soluções são:

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de exceto e .

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