Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© A reta r:lx=3 y=1 é simultaneamente ortogonal as retas
s1:l x-1z-3=y-52 z=4 e s2:l z=3 x+1 y=-4 x+7

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a reta definida por e é ortogonal (perpendicular) às retas e . Para isso, vamos usar o conceito de vetores diretores e produto escalar para determinar a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta vr = (0, 0, 1) . A reta é definida pelas equações e , o que significa que pode variar livremente. Portanto, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta x-1z-3 = y-52 e z=4 . As equações de x-11 = y-52 são:
x = 1 + t y = 5 + 2t z = 4
Como vs1 = (1, 2, 0) , substituímos na primeira equação:
Isso nos dá as parametrizações:
Portanto, o vetor diretor de é:

Passo 4

Para verificar se vr cdot vs1 = 0 cdot 1 + 0 cdot 2 + 1 cdot 0 = 0 é ortogonal a , calculamos o produto escalar dos vetores diretores:
Como o produto escalar é zero, as retas e são ortogonais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta z = 3x + 1 y = -4x + 7 . As equações de x = t y = -4t + 7 z = 3t + 1 são:
vs2 = (1, -4, 3)
Podemos parametrizar com :
Assim, o vetor diretor de é:

Passo 6

Agora, verificamos se vr cdot vs2 = 0 cdot 1 + 0 cdot (-4) + 1 cdot 3 = 3 é ortogonal a calculando o produto escalar:
Como o produto escalar é diferente de zero, as retas e não são ortogonais.

Resposta

A reta não é simultaneamente ortogonal às retas e , pois ela é ortogonal a mas não a .

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