Sejam
e seja .
(b) Calcule o determinante da transposta de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá duas matrizes e , e define . A parte (b) pede para calcular o determinante da transposta de . Vamos precisar usar propriedades de determinantes e entender como elas se aplicam a matrizes transpostas e produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos focar em encontrar em vez de .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Sabemos que . Uma propriedade importante dos determinantes é que, para qualquer escalar e matriz de ordem :
Como é resultado da multiplicação de e por , e supondo que e são matrizes , temos:
Isso porque o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes.

Passo 4

Vamos calcular :
Então, até agora, temos:

Passo 5

Agora, precisamos calcular e .
Primeiro, é uma matriz triangular superior:
Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Laplace expandindo pela segunda linha, que tem zeros facilitando o cálculo.
Expansão pelo segundo elemento da segunda linha:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz :
Então, .

Passo 7

Agora, voltando à fórmula para :

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam
e seja .
(a) Calcule os determinantes de e .
Considere a matriz
© Resolva o sistema
Para quais valores de a matriz é invertível?
Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) A reta que passa pelos pontos e é ortogonal ao plano coordenado .