Sejam
B=[llll 2 & 1 & 4 & 3 0 & 3 & 4 & pi 0 & 0 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & 1 ] e C=[cccc 1 & 7 & 4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & -2 & 1 0 & 4 & 1 & 2 ]
e seja A=raiz2 B C.
(b) Calcule o determinante da transposta de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá duas matrizes e , e define . A parte (b) pede para calcular o determinante da transposta de . Vamos precisar usar propriedades de determinantes e entender como elas se aplicam a matrizes transpostas e produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz. Ou seja:
det(A^T) = det(A)
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos focar em encontrar em vez de .

Passo 3

Agora, vamos calcular det(kM) = k^n det(M) . Sabemos que det(A) = det(raiz2 , B , C) = (raiz2)^4 det(B) det(C) . Uma propriedade importante dos determinantes é que, para qualquer escalar e matriz de ordem :
Como é resultado da multiplicação de e por , e supondo que e são matrizes , temos:
Isso porque o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes.

Passo 4

Vamos calcular (raiz2)^4 = (raiz2 times raiz2) times (raiz2 times raiz2) = 2 times 2 = 4 :
det(A) = 4 det(B) det(C)
Então, até agora, temos:

Passo 5

Agora, precisamos calcular B = 2 & 1 & 4 & 3 0 & 3 & 4 & pi 0 & 0 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & 1 e det(B) = 2 times 3 times 3 times 1 = 18 .
Primeiro, é uma matriz triangular superior:
Para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular C = 1 & 7 & 4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & -2 & 1 0 & 4 & 1 & 2 . A matriz det(C) = (-1)^2+2 times 1 times det( 1 & 4 & 2 2 & -2 & 1 0 & 1 & 2 ) = 1 times det( 1 & 4 & 2 2 & -2 & 1 0 & 1 & 2 ) é:
det( 1 & 4 & 2 2 & -2 & 1 0 & 1 & 2 ) = 1 times (-2 times 2 - 1 times 1) - 4 times (2 times 2 - 0 times 1) + 2 times (2 times 1 - (-2) times 0)
Para calcular o determinante de uma matriz = 1 times (-4 - 1) - 4 times (4 - 0) + 2 times (2 - 0) , podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Laplace expandindo pela segunda linha, que tem zeros facilitando o cálculo.
Expansão pelo segundo elemento da segunda linha:
= (-5) - 16 + 4 = -17
Agora, calculamos o determinante dessa matriz :
Então, .

Passo 7

Agora, voltando à fórmula para det(A) = 4 times det(B) times det(C) = 4 times 18 times (-17) = 4 times (-306) = -1224 :

Resposta

det(A^T) = -1224

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