Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) O plano que contém os pontos C(2,1,3), D(0,4,0) e E(0,1,3) é paralelo ao eixo x.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A pergunta é para verificar se o plano que passa por esses três pontos é paralelo ao eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano definido pelos pontos CD = D - C = (0-2, 4-1, 0-3) = (-2, 3, -3) , CE = E - C = (0-2, 1-1, 3-3) = (-2, 0, 0) e . Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Com esses dois vetores no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial n = CD times CE = i & j & k -2 & 3 & -3 -2 & 0 & 0 :
n = i(3 cdot 0 - (-3) cdot 0) - j(-2 cdot 0 - (-3) cdot (-2)) + k(-2 cdot 0 - 3 cdot (-2))
Calculando o determinante:
n = i(0 - 0) - j(0 - 6) + k(0 + 6)
n = 0i + 6j + 6k = (0, 6, 6)

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n cdot i = 0 cdot 1 + 6 cdot 0 + 6 cdot 0 = 0 , precisamos verificar se ele é ortogonal ao eixo . O eixo é representado pelo vetor diretor .
Para que o plano seja paralelo ao eixo , o vetor normal do plano deve ser perpendicular ao eixo . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:

Resposta

Verdadeiro. O plano é paralelo ao eixo porque o vetor normal ao plano é ortogonal ao eixo .

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