Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para encontrar a equação de uma terceira reta, , que passa pelo ponto de interseção das duas primeiras retas e que seja perpendicular a ambas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, condições de interseção e perpendicularidade entre vetores diretores das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, precisamos igualar as equações das duas retas e resolver para os parâmetros que fazem as coordenadas serem iguais.
A reta está dada por:
Isso significa que:
A reta está dada por:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Agora, igualamos as coordenadas de e :
Passo 3
Vamos usar a equação (1) para substituir na equação (2):
Se subtrairmos de ambos os lados:
Isso implica que ou ou .
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Então,
Substituindo na equação (1):
Substituindo em :
Substituindo em :
Os pontos não coincidem, então não há interseção.
Caso 2:
A equação se torna , que é sempre verdadeiro para qualquer .
Vamos usar a equação (3):
Mas de (1), , então:
Substituindo e em :
E em :
Portanto, o ponto de interseção é quando .
Passo 4
Agora que encontramos o ponto de interseção para , precisamos encontrar a reta que passa por e é perpendicular a ambas as retas e .
Para que seja perpendicular a e , seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores de e . Os vetores diretores são:
Um vetor perpendicular a ambos pode ser encontrado calculando o produto vetorial de e :
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor diretor multiplicando por 2 para evitar frações:
Passo 6
Agora, temos o ponto e o vetor diretor . Assim, a equação paramétrica da reta é: