Sejam as retas: r1:(x, y, z)=(1,0,2)+(2 t, t, 3 t) e r2: x-11=ym=z+12 m.
© Se possível, determine a equação da reta r3 que passa pelo ponto de intersecção das retas r1 e r2, e que seja multuamente perpendicular a ambas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para encontrar a equação de uma terceira reta, , que passa pelo ponto de interseção das duas primeiras retas e que seja perpendicular a ambas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, condições de interseção e perpendicularidade entre vetores diretores das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, 1, 3) e x = 1 + 2t y = 0 + t z = 2 + 3t . Para isso, precisamos igualar as equações das duas retas e resolver para os parâmetros que fazem as coordenadas serem iguais.
A reta x - 11 = ym = z + 12m está dada por:
x = 1 + s y = m s z = -1 + 2m s
Isso significa que:
1 + 2t = 1 + s Rightarrow 2t = s (1) t = m s (2) 2 + 3t = -1 + 2m s (3)
A reta está dada por:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Agora, igualamos as coordenadas de e :

Passo 3

Vamos usar a equação (1) para substituir t = m s = m (2t) Rightarrow t = 2m t na equação (2):
t - 2m t = 0 Rightarrow t(1 - 2m) = 0
Se subtrairmos (x, y, z) = (1, 0, 2) de ambos os lados:
(x, y, z) = (1, 0, -1)
Isso implica que ou 2 + 3t = -1 + 2m s = -1 + 2(12)s = -1 + s ou 2 + 3t = -1 + 2t 3t - 2t = -1 - 2 t = -3 .
Vamos analisar cada caso:
  1. Caso 1: (x, y, z) = (1 + 2(-3), 0 + (-3), 2 + 3(-3)) = (-5, -3, -7)
    • Então, s = 2t = 2(-3) = -6 (x, y, z) = (1 -6, 12(-6), -1 + 2(12)(-6)) = (-5, -3, -7)
    • Substituindo na equação (1):
    • Substituindo em :
    • Substituindo em :
    • Os pontos não coincidem, então não há interseção.
  2. Caso 2:
    • A equação se torna , que é sempre verdadeiro para qualquer .
    • Vamos usar a equação (3):
    • Mas de (1), , então:
    • Substituindo e em :
    • E em :
    • Portanto, o ponto de interseção é quando .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto de interseção v1 = (2, 1, 3) v2 = (1, 12, 2 times 12) = (1, 12, 1) para v3 = v1 times v2 , precisamos encontrar a reta que passa por e é perpendicular a ambas as retas e .
Para que seja perpendicular a e , seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores de e . Os vetores diretores são:
Um vetor perpendicular a ambos pode ser encontrado calculando o produto vetorial de e :

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
v3 = i & j & k 2 & 1 & 3 1 & 12 & 1 = i(1 times 1 - 3 times 12) - j(2 times 1 - 3 times 1) + k(2 times 12 - 1 times 1)
= i(1 - 32) - j(2 - 3) + k(1 - 1)
= i(-12) - j(-1) + k(0)
= (-12, 1, 0)
Podemos simplificar o vetor diretor multiplicando por 2 para evitar frações:
v3 = (-1, 2, 0)

Passo 6

Agora, temos o ponto (x, y, z) = (-5, -3, -7) + t(-1, 2, 0) e o vetor diretor x = -5 - t y = -3 + 2t z = -7 . Assim, a equação paramétrica da reta é:
Ou, separadamente:

Resposta

A equação da reta (x, y, z) = (-5, -3, -7) + t,(-1, 2, 0) é:
x = -5 - t y = -3 + 2t z = -7
Ou, em forma paramétrica:

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