Sejam as retas: e .
© Se possível, determine a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas e , e que seja multuamente perpendicular a ambas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para encontrar a equação de uma terceira reta, , que passa pelo ponto de interseção das duas primeiras retas e que seja perpendicular a ambas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, condições de interseção e perpendicularidade entre vetores diretores das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, precisamos igualar as equações das duas retas e resolver para os parâmetros que fazem as coordenadas serem iguais.
A reta está dada por:
Isso significa que:
A reta está dada por:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
Agora, igualamos as coordenadas de e :

Passo 3

Vamos usar a equação (1) para substituir na equação (2):
Se subtrairmos de ambos os lados:
Isso implica que ou ou .
Vamos analisar cada caso:
  1. Caso 1:
    • Então,
    • Substituindo na equação (1):
    • Substituindo em :
    • Substituindo em :
    • Os pontos não coincidem, então não há interseção.
  2. Caso 2:
    • A equação se torna , que é sempre verdadeiro para qualquer .
    • Vamos usar a equação (3):
    • Mas de (1), , então:
    • Substituindo e em :
    • E em :
    • Portanto, o ponto de interseção é quando .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto de interseção para , precisamos encontrar a reta que passa por e é perpendicular a ambas as retas e .
Para que seja perpendicular a e , seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores de e . Os vetores diretores são:
Um vetor perpendicular a ambos pode ser encontrado calculando o produto vetorial de e :

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor diretor multiplicando por 2 para evitar frações:

Passo 6

Agora, temos o ponto e o vetor diretor . Assim, a equação paramétrica da reta é:
Ou, separadamente:

Resposta

A equação da reta é:
Ou, em forma paramétrica:

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© A reta é simultaneamente ortogonal as retas
Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) O plano que contém os pontos e é paralelo ao eixo .
Obtenha a equação geral do plano que contém a reta , e que forme com o plano um ângulo de .
Encontre os comprimentos dos lados do triângulo . Ele um triângulo retângulo? É isócelos?