Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos classificar a série infinita
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries, analisando se a série converge de forma absoluta ou condicional, ou se ela não converge.
Passo 2
Vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos considerar a série dos valores absolutos dos termos originais:
Agora, comparando com uma série p, que tem a forma , sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, o denominador cresce proporcionalmente a , ou seja, . Portanto, nossa série se comporta como:
Aqui, , o que indica que a série diverge.
Passo 3
Como a série dos valores absolutos não converge, agora vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada:
converge se:
é decrescente.
.
No nosso caso, .
Decrescente: Conforme aumenta, também aumenta, fazendo diminuir.
Limite:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.