Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b) sumk=1^infty (-1)^k1+5 raizk

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos classificar a série infinita
sumk=1^infty (-1)^k1+5 raizk
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries, analisando se a série converge de forma absoluta ou condicional, ou se ela não converge.

Passo 2

Vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos considerar a série dos valores absolutos dos termos originais:
sumk=1^infty | (-1)^k1+5 raizk | = sumk=1^infty 11+5 raizk
Agora, comparando com uma série p, que tem a forma sumk=1^infty 1k^1/2 , sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, o denominador cresce proporcionalmente a , ou seja, . Portanto, nossa série se comporta como:
Aqui, , o que indica que a série diverge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos não converge, agora vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada:
sumk=1^infty (-1)^k ak
converge se:
  1. limk to infty 11 + 5 raizk = 0 é decrescente.
  2. .
No nosso caso, .
  • Decrescente: Conforme aumenta, também aumenta, fazendo diminuir.
  • Limite:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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