Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos classificar a série infinita
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries, analisando se a série converge de forma absoluta ou condicional, ou se ela não converge.

Passo 2

Vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos considerar a série dos valores absolutos dos termos originais:
Agora, comparando com uma série p, que tem a forma , sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, o denominador cresce proporcionalmente a , ou seja, . Portanto, nossa série se comporta como:
Aqui, , o que indica que a série diverge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos não converge, agora vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada:
converge se:
  1. é decrescente.
  2. .
No nosso caso, .
  • Decrescente: Conforme aumenta, também aumenta, fazendo diminuir.
  • Limite:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados

Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(a) Seja a série e seja , para todo . Se , então a série converge.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e)
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(h)